【新高考复习】考点05 指数函数、对数函数和幂函数-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）

2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）考点05指数函数、对数函数和幂函数知识点1:指数函数例1.已知函数f（x）＝ex若x1，x2∈R且x1≠x2，x0＝，记a＝，b＝f′（x0），c＝，则下列关系式中正确的是（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a【答案】B【分析】函数f（x）＝ex在R上是增函数，且函数图象向下凸出，不妨设x1＜x2，结合a、b和c的几何意义，判断出它们的大小即可．【解答】解：∵函数f（x）＝ex在R上是增函数，且f（x）＞0，x1，x2∈R且x1≠x2，x0＝，不妨设x1＜x2，则有x1＜x0＜x2，根据a＝表示曲线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）连线的斜率，b＝f′（x0）是曲线在x＝x0处切线的斜率，c＝是曲线上A、B两点纵坐标的等差中项，结合函数f（x）＝ex的图象知，b＜a＜c．故选：B．【知识点】指数函数的单调性与特殊点练习：1.函数的单调递增区间是（）A．B．C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【答案】B【分析】要求的单调递增区间，由于y＝2t在R上单调递增，只要求g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间，根据二次函数的性质可求【解答】解：要求的单调递增区间∵y＝2t在R上单调递增∴只要求g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间而由二次函数的性质可知g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（﹣∞，）故选：B．【知识点】指数型复合函数的性质及应用2.若函数f（x）＝（x+1）ex，则下列命题正确的是（）A．对任意m＞﹣，都存在x∈R，使得f（x）＜mB．对任意m＜﹣，都存在x∈R，使得f（x）＜mC．对任意m＜﹣，方程f（x）＝m只有一个实根D．对任意m＞﹣，方程f（x）＝m总有两个实根【答案】A【分析】先求f′（x）＝（x+2）ex，这样便能判断函数f（x）在x＝﹣2处取到最小值，这样便可判断A正确．【解答】解：f′（x）＝（x+2）ex；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0；x＞﹣2时，f′（x）＞0；∴x＝﹣2时，f（x）取到极小值，也是最小值f（﹣2）＝；∴对于任意的m＞，都存在x∈R，使得f（x）＜m；故A正确．这样当，存在x∈R，使f（x）＜m；∴D错误．∵f（x）的最小值为，∴m＜时，f（x）＝m无实数根；∴C错误．故选：A．【知识点】指数函数综合题3.已知点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，对于函数y＝f（x）定义域中的任意x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）；③＜0；④f（）＜上述结论中正确结论的序号是．【答案】①④【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．【解答】解：∵点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，∴a2＝9，解得：a＝3，∴f（x）＝3x，∴①f（x1+x2）＝＝•＝f（x1）•f（x2），故①正确；②f（x1•x2）＝≠f（x1）+f（x2），故②错误；③a＝3＞1，f（x）在R递增，故＞0，故③错误；④＝≥＝＝f（）故④正确；故答案为：①④．【知识点】指数函数的图象与性质4.若函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则的最小值为，【分析】令幂指数等于零，求出xy的值，可得定点A的坐标，再把A的坐标代入直线方程，利用基本不等式，求得的最小值．【解答】解：对于函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1），令x﹣1＝0，求得x＝1、y＝2，可得函数的图象恒过定点A（1，2），若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则m+2n＝1，故＝+＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当m＝n时，等号成立，故的最小值为3+2，故答案为：3+2．【知识点】指数函数的单调性与特殊点知识点2:对数函数例1.若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．（1，）D．[）【答案】B【分析】先将函数f（x）＝loga（2﹣ax）转化为y＝logat，t＝2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．【解答】解：令y＝logat，t＝2﹣ax，∵a＞0∴t＝2﹣ax在（1，3）上单调递减∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增∴函数y＝logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a≤故选：B．【知识点】对数函数的单调性与特殊点练习：1.若logab＞1，其中a＞0且a≠1，b＞1，则（）A．0＜a＜1＜bB．1＜a＜bC．1＜b＜aD．1＜b＜a2【答案】B【分析】直接利用对数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由于logab＞1，其中a＞0且a≠1，且b＞1，则a＞1，对数函数y＝logax为单调递增函数，则：logab＞logaa＝1，所以b＞a＞1．故选：B．【知识点】指、对数不等式的解法、对数函数的图象与性质2.已知函数f（x）＝，若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[﹣1，0]C．[﹣1，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]【答案】C【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，解得0≥x0≥﹣1当x0＞0时，log2x0≥1，解得x0≥2∴x0∈[﹣1，0]∪[2，+∞），故选：C．【知识点】指数函数与对数函数的关系、分段函数的解析式求法及其图象的作法3.已知函数f（x）＝loga（x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，1）【答案】B【分析】令真数等于1，求得x、y的值，可得m、n的值，再利用二次函数的性质，求得实数b的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝loga（x+2）+3的图象恒过定点（m，n），令x+2＝1，求得x＝﹣1、y＝3，可得它的图象经过定点（﹣1，3），∴m＝﹣1，n＝3．∵函数g（x）＝mx2﹣2bx+n＝﹣x2﹣2bx+3在[1，+∞）上单调递减，∴＝﹣b≤1，∴b≥﹣1，故选：B．【知识点】对数函数的单调性与特殊点4.已知函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围为﹣．【答案】（-1，2）【分析】由题意利用对数函数的单调性，可得（2x﹣1）2＜9，由此求得x得取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3），∴（2x﹣1）2＜9，求得﹣3＜2x﹣1＜3，求得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．【知识点】对数函数的图象与性质5.己知函数f（x）＝loga（x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是﹣【答案】[-1，+∞）【分析】令真数等于1，求得x、y的值，可得定点坐标，从而得到m、n的值，再根据函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，利用二次函数的性质求得实数b的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝loga（x+2）+3的图象恒过定点（m，n），令x+2＝1，求得x＝﹣1，f（x）＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3），∴m＝﹣1，n＝3．∵函数g（x）＝mx2﹣2bx+n＝﹣x2﹣2bx+3，在[1，+∞）上单调递减，∴﹣≤1，即b≥﹣1，则实数b的取值范围为[﹣1，+∞），故答案为：[﹣1，+∞）．【知识点】对数函数的单调性与特殊点知识点3:反函数例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），若f（x）在R上存在反函数，则下列结论正确的是（）A．或B．或C．或D．或【答案】B【分析】f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值，再根据函数的奇偶性和单调性即可求出答案．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝a﹣x+b，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝a﹣x+b，∴f（x）＝﹣a﹣x﹣b，若f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值即可，当a＞1时，则需满足a0+b≥﹣a0﹣b，解得b≥﹣1，当0＜a＜1时，则需满足a0+b≤﹣a0﹣b或b≥0，解得b≤﹣1或b≥0，故选：B．【知识点】反函数练习：1.在P（1，1），Q（2，2），M（2，4）和四点中，函数y＝logax（x＞0）的图象与其反函数的图象的公共点（）A．只能是PB．只能是P、QC．只能是Q、MD．只能是Q、N【答案】D【分析】分别假设点P，Q，M，N在原函数上，在判断是否在其反函数的图象上．【解答】解：y＝logax（x＞0）的反函数为y＝ax，由于loga1＝0，点P不在y＝logax上，点P不符合，由loga2＝2，则a＝，则反函数为y＝2，当x＝2时，y＝2，则点Q符合，由loga2＝4，则a＝2，则反函数为y＝2，当x＝2时，y＝，则点M不符合，由loga＝，则a＝，则反函数为y＝（）x，当x＝时，y＝，则点N符合，故选：D．【知识点】反函数2.设函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，8），其反函数的图象过（16，2），则a+b＝（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】根据反函数的图象过（16，2），可知f（x）图象过点（2，16），和（1，8），代入联立解得．【解答】解：∵f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，8），∴代入得a1+b＝8①，∵其反函数的图象过（16，2），∴f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（2，16），∴代入得a2+b＝16②，联立①②，解之得a＝2，b＝2，故选：B．【知识点】反函数3.设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为．【分析】根据f（x）是[0，π]上的增函数，且f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，得出y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，进而可得y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值．【解答】解：∵f（x）＝，是[0，π]上的单调增函数，且f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，∴f（x）和f﹣1（x）的单调性相同，∴当x＝π时，f（x）的最大值为，且当x＝时f（）＝＝，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，且当x＝时＝π，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为＝＝．故答案为：．【知识点】反函数4.设定义域为R的函数f（x）、g（x）都有反函数，且函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）图象关于直线y＝x对称，若g（5）＝2015，则f（4）＝【答案】2018【分析】根据函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）图象关于直线y＝x对称可得函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）互为反函数，故可令g﹣1（x﹣3）＝y求出其反函数y＝g（x）+3则f（x﹣1）＝g（x）+3然后令x＝5再结合g（5）＝2015即可得解．【解答】解：解：设g﹣1（x﹣3）＝y则g（g﹣1（x﹣3））＝g（y）∴x﹣3＝g（y）∴x＝g（y）+3得y＝g（x）+3（为g﹣1（x﹣3）的反函数）又∵f（x﹣1）与g﹣1（x﹣3）的图象关于直线y＝x对称∴f（x﹣1）＝g（x）+3又g（5）＝2015∴f（4）＝f（5﹣1）＝g（5）+3∴f（4）＝2015+3＝2018故填：2018．【知识点】反函数5.已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是．【答案】（-∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）【分析】分别讨论对称轴