【新高考复习】专题3.8 函数与方程 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷

专题3.8函数与方程新课程考试要求理解函数零点的概念.核心素养培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例3.4.5等）、逻辑推理（例5.6）、数据分析（例3.4）、直观想象（例2.7--11）等核心数学素养.考向预测1．分段函数与函数方程结合；2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.【知识清单】1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【考点分类剖析】考点一：求函数的零点【典例1】（2021·全国高三其他模拟）设xR，定义符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，则方程2sgn21xxx的解是（）A．1B．12C．1或12D．1或12或12【典例2】（2020·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则．【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理））已知函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−4)，则方程𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)的所有解的和为（）A．4+√3B．1C．3D．5【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数𝑓（𝑥）的解析式，结合𝑦=𝑓（2−𝑥）的图象与𝑦=𝑓（𝑥）的图象关于𝑥=1对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)的所有解的和．2.（2021·福建高三二模）已知函数21,0,()log,0xxfxxx则函数yffx的所有零点之和为___________.考点二：判断函数零点所在区间【典例3】（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数ln6fxxx的零点一定位于区间（）A．2,3B．3,4C．4,5D．5,6【典例4】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（）A．B．C．D．【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.2,1()(2),1xxfxxx„()fxb1x2x3x4x1234xxxx31()102fxxx(1,0)(0,1)(1,2)(2,3)特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．【特别提醒】二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．【变式探究】1．（2021·宁夏高三其他模拟（文））函数3()9xfxex的零点所在的区间为（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,42.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1]B．[4.1，5]C．[1.9，2.3]D．[5，6.1]考点三：判断函数零点的个数【典例5】（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【典例6】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（）A．5050B．4041C．4040D．2020【规律方法】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点fxfxyfx1,1fx0,20203.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【变式探究】1.（2020·开原市第二高级中学高三月考）函数21()fxxx，(0,)x的零点个数是（）.A．0B．1C．2D．32.（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.考点四：函数零点的应用【典例7】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【典例8】（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数231fxxx.若关于x的方程0fxax恰有两个不同的实根，则a的取值范围是（）A．1,5B．1,5C．1}50{，D．1}50{，【典例9】（2021·全国高三其他模拟）若函数4log1,13,1xxxfxmx存在2个零点，则实数m的取值范围为（）A．3,0B．1,0C．0,1D．3,【典例10】（2021·奉新县第一中学高三三模（文））已知函数22,2,21219,2,xxfxxxx若方程0fxa的实根之和为6，则a的取值范围为（）[]tt[1.3]2[2.6]2()21fxxx232,3,xxxmfxxxmfxm2,32,31,23,1,23,A．1,3B．1,3C．1,4D．3,4【典例11】【多选题】（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知ca，若函数2()2fxxxb有两个零点,cd，()|ln|gxxd有两个零点,ab，则下列选项正确的有（）A．1dbB．2abcdC．adbcD．loglogabcd【规律方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式探究】1.（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数12log1,0,(1),0,xxfxfxx若函数gxfxxa有且只有两个不同的零点，则实数a的取值可以是（）A．-1B．0C．1D．22.（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（理））已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，1xxfxe，给出下列命题：①当0x时，1xfxxe；②函数fx有2个零点；③0fx的解集为,10,1；④1x，2xR，都有122fxfx.其中正确的命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3.【多选题】（2021·湖南雅礼中学高三二模）关于函数|ln|2||fxx，下列描述正确的有（）A．函数fx在区间()1,2上单调递增B．函数yfx的图象关于直线2x对称C．若12xx，但12fxfx，则124xxD．函数fx有且仅有两个零点4.（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数2,1169,1xxfxxxxx，若方程fxa有四个不同的根1x，2x，3x，4x，则12341111xxxx的取值范围是______.【总结提升】函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．