【新高考复习】专题10 数列 10.1等差数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十《数列》讲义10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(4)前n项和公式：Sn＝na1＋an2――→an＝a1＋n－1dSn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(2)若{an}是等差数列，则Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的12.(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S奇S偶＝anan＋1.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(3𝑎1+3×22𝑑)=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴{𝑎1+3𝑑+𝑎1+4𝑑=246𝑎1+6×52𝑑=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{an}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{an}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{an}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−13𝑎11的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−13𝑎11=a1+8d−𝑎1+10𝑑3=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：（1）数列{an}是递增数列；（2）数列{nan}是递增数列；（3）数列{𝑎𝑛𝑛}是递减数列；（4）数列{an+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则an＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{an}是递增数列，故（1）正确；𝑛𝑎𝑛=𝑑𝑛2+(𝑎1−𝑑)𝑛，当n＜𝑑−𝑎12𝑑时，数列{nan}不是递增数列，故（2）错误；𝑎𝑛𝑛=𝑑+𝑎1−𝑑𝑛，当a1﹣d≤0时，数列{𝑎𝑛𝑛}不是递减数列，故（3）错误；an+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{an+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2（n∈N*），则{an}的通项公式为（）A．an＝2nB．an＝2n﹣1C．an＝3n﹣2D．𝑎𝑛={1，𝑛=12𝑛，𝑛≥2【解答】解：∵Sn＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴an＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{an}中，若an＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令an＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，𝑎1=−11，𝑆1010−𝑆88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑，得𝑆𝑛𝑛=𝑎1+(𝑛−1)2𝑑，由𝑆1010−𝑆88=2，得𝑎1+10−12𝑑−(𝑎1+8−12)𝑑=2，d＝2，𝑆1111=𝑎1+(11−1)2𝑑=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知𝑆𝑛𝑇𝑛=𝑛2𝑛+1，则𝑎7𝑏7等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵𝑆𝑛𝑇𝑛=𝑛2𝑛+1，∴𝑎7𝑏7=2𝑎72𝑏7=132(𝑎1+𝑎13)132(𝑏1+𝑏13)=𝑆13𝑇13=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{an}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n为何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{an}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，又公差d=𝑎13−𝑎113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴Sn的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵Sn＝7n+𝑛(𝑛−1)2𝑑，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，∴{𝑆7＜𝑆8𝑆9＜𝑆8，即{49+21𝑑＜56+28𝑑63+36𝑑＜56+28𝑑，解得：{𝑑＞−1𝑑＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{an}满足𝑎1=35，𝑎𝑛=2−1𝑎𝑛−1(𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗)，数列{bn}满足𝑏𝑛=1𝑎𝑛−1(𝑛∈𝑁∗)．（1）求证数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由𝑎1=35，𝑎𝑛=2−1𝑎𝑛−1(𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗)，得an+1＝2−1𝑎𝑛（n∈N•）bn+1﹣bn=1𝑎𝑛+1−1−1𝑎𝑛−1=12−1𝑎𝑛−1−1𝑎𝑛−1=1…（4分）又b1=−52，所以{bn}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为bn＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以an=1𝑏𝑛+1=22𝑛−7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{an}单调递减且an＜1，n≥4时数列{an}单调递减且an＞1所以数列{an}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{an}中，a2＝1，前n项和为Sn，且Sn=𝑛(𝑎𝑛−𝑎1)2．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(𝑎1−𝑎1)2=0（2）由𝑆𝑛=𝑛(𝑎𝑛−𝑎1)2，即𝑆𝑛=𝑛𝑎𝑛2，①得𝑆𝑛+1=(𝑛+1)𝑎𝑛+12．②②﹣①，得（n﹣1）an+1＝nan．③于是，nan+2＝（n+1）an+1．④③+④，得nan+2+nan＝2nan+1，即an+2+an＝2an+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则{8𝑎1+28𝑑=4𝑎1+8𝑑𝑎1+6𝑑=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，Sn取得最大值C．S4＝S9D．满足Sn＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{an}为递减数列，∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由an≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，Sn取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴Sn＝na1+𝑛(𝑛−1)𝑑2=𝑑2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足Sn＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{an}的前n项和最大；当Sn＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{an}的前n项和最大；∵S15=15(𝑎1+𝑎15)2=15a8＞0，S16=16(𝑎1+𝑎16)2=8（a8+a9）＜0，∴当Sn＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{an