【新高考复习】专题13解析几何 13.4双曲线 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题十三《解析几何》讲义13.4双曲线知识梳理.双曲线1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2题型一.双曲线及其性质1．过双曲线𝑥24−𝑦23=1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为．2．设双曲线𝐶：𝑥28−𝑦2𝑏2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（）A．8√2B．8C．4√2D．43．过双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是．4．P是双曲线𝑥29−𝑦216=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为．5．已知F是双曲线C：x2−𝑦28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6√6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．题型二.焦点三角形1．已知点F1，F2分别为双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为．2．已知F1，F2是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能3．已知双曲线C：𝑥22−𝑦2=1的左右焦点为F1、F2，点M为双曲线C上任一点，则|MF1|•|MF2|的最小值为（）A．1B．√2C．2D．34．从双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．c﹣aB．b﹣aC．a﹣bD．c﹣b题型三.渐近线性质1．过双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．𝑥212−𝑦24=1B．𝑥27−𝑦29=1C．𝑥28−𝑦28=1D．𝑥24−𝑦212=12．设F1，F2是双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=√6|OP|，则C的离心率为．3．已知斜率为1的直线l与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3xB．y＝±√3xC．y＝±13𝑥D．y＝±√33x4．已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是．题型四.构建等量关系求离心率1．设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为．2．过双曲线M：x2−𝑦2𝑏2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（）A．√10B．√5C．√103D．√523．已知F1、F2是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e＝．4．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点．若𝐹1𝐴→=𝐴𝐵→，𝐹1𝐵→⋅𝐹2𝐵→=0，则双曲线C的离心率为（）A．2√33B．√2C．2D．√3题型五.离心率的取值范围1．设点P在双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）A．(1，53]B．（1，2]C．[53，+∞)D．[2，+∞）2．已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为．3．F1，F2是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点P满足𝑃𝐹1→⋅𝑃𝐹2→=−a2，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[√3，+∞）B．[√2，+∞）C．（1，√3]D．（1，√2]课后作业.双曲线1．已知F1，F2是双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，F2与抛物线C：y2＝4√3x的焦点重合，点M在E上，MF2与x轴垂直，|MF2|＝2，则E的离心率为（）A．√2B．32C．√3D．22．已知M（x0，y0）是双曲线C：𝑥22−y2＝1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若∠F1MF2为钝角，则y0的取值范围是．3．设F1、F2分别为双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于（）A．√3B．2C．2√2D．44．已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|．若直线PF2与双曲线C只有一个交点，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．√5D．√65．已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y=±√3𝑥B．y=±√33𝑥C．y＝±2xD．y=±12𝑥6．过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＜0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥513|𝐶𝐷|，则双曲线离心率的取值范围为．