【新高考复习】专题13解析几何 13.5抛物线 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十三《解析几何》讲义13.5抛物线知识梳理.抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为p2.图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2题型一.抛物线定义及其性质1．已知抛物线𝑦=12𝑥2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|=√2|NF|，则|MF|＝√2．【解答】解：作N到准线的垂线NH交准线于H点．根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，所以在△NOM中，|NM|=√2|NH|，所以∠NMH＝45°．所以在△MFO（O为准线与y轴交点）中，∠FMO＝45°，所以|MF|=√2|FO|．而|FO|即为准焦距为1．所以|MF|=√2故答案为：√22．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（）A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2=√3x【解答】解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p=12|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．故选：B．3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为y2＝6x．【解答】解：根据题意，设抛物线的准线为l，与x轴交点为N，则N（−𝑝2，0），FN＝p，若△FPM为边长是6的等边三角形，即有PF＝PM，则PM⊥l，又由∠PMF＝60°，则∠PMN＝90°﹣60°＝30°，△MNF为直角三角形，故PM＝2p，又由△FPM为边长是6的等边三角形，即PM＝6，则有2p＝6；即此抛物线的方程为y2＝6x；故答案为：y2＝6x．4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=√2|AF|，则△AFK的面积为8．【解答】解：F（2，0），K（﹣2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|＝|AF|∴|AK|=√2|AM|，∴△AFK的高等于|AM|，设A（m2，2√2m）（m＞0），则△AFK的面积＝4×2√2m⋅12=4√2m，又由|AK|=√2|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=√2，∴△AFK的面积＝4×2√2m⋅12=8，故答案为：85．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在圆C2：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，则曲线C1的方程为y2＝20x．【解答】解：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x＝﹣5的距离，因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x＝﹣5为准线的抛物线，故其方程为y2＝20x．故答案为y2＝20x．6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．|𝐵𝐹|−1|𝐴𝐹|−1B．|𝐵𝐹|2−1|𝐴𝐹|2−1C．|𝐵𝐹|+1|𝐴𝐹|+1D．|𝐵𝐹|2+1|𝐴𝐹|2+1【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则𝑆△𝐵𝐶𝐹𝑆△𝐴𝐶𝐹=|𝐵𝐶||𝐴𝐶|=|𝐵𝑀||𝐴𝑁|=|𝐵𝐹|−1|𝐴𝐹|−1，故选：A．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布题型二.定义转化求值1．已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为3√2−1．【解答】解：∵抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，∴F（1，0）准线为x＝﹣1，∵在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，∴根据抛物线的定义可知：d1+d2的最小值为焦点到直线l的距离减去1，∴最小值为|1−0+5|√2−1＝3√2−1，故答案为：3√2−12．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是5．【解答】解：如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|＝|MF|，当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴，此时|MA|+|MF|＝|AP|＝|CP|﹣1＝6﹣1＝5，故答案为：5．3．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．√33B．23C．√22D．1【解答】解：由题意可得F（𝑝2，0），设P（𝑦022𝑝，y0），显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．要求kOM的最大值，设y0＞0，则𝑂𝑀→=𝑂𝐹→+𝐹𝑀→=𝑂𝐹→+13𝐹𝑃→=𝑂𝐹→+13（𝑂𝑃→−𝑂𝐹→）=13𝑂𝑃→+23𝑂𝐹→=（𝑦026𝑝+𝑝3，𝑦03），可得kOM=𝑦03𝑦026𝑝+𝑝3=2𝑦0𝑝+2𝑝𝑦0≤22√𝑦0𝑝⋅2𝑝𝑦0=√22，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故选：C．题型三.焦点弦八个常用结论1．（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若𝐹𝐴→+𝐹𝐵→+𝐹𝐶→=0→，则|𝐹𝐴→|+|𝐹𝐵→|+|𝐹𝐶→|的值为（）A．3B．4C．6D．9【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1∵𝐹𝐴→+𝐹𝐵→+𝐹𝐶→=0→，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3＝3y1+y2+y3＝0而|FA|＝x1﹣（﹣1）＝x1+1|FB|＝x2﹣（﹣1）＝x2+1|FC|＝x3﹣（﹣1）＝x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝3+3＝6故选：C．2．（2016•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果𝑂𝐴→•𝑂𝐵→=−12，那么抛物线C的方程为（）A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x【解答】解：设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），焦点坐标为（𝑝2，0），∴直线AB的方程为y＝k（x−𝑝2），由直线与抛物线方程联立，得k2x2﹣（pk2+2p）x+14p2k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝p+2𝑝𝑘2，x1•x2=14p2，y1•y2＝k（x1−𝑝2）•k（x2−𝑝2）＝k2[x1•x2−𝑝2（x1+x2）+14p2]＝﹣p2，∴𝑂𝐴→•𝑂𝐵→=x1•x2+y1•y2=14p2﹣p2＝﹣12，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x．故选：C．3．（2009•黑龙江）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（）A．13B．√23C．23D．2√23【解答】解：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2直线y＝k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|𝑂𝐵|=12|𝐴𝐹|，∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1，2√2)∴𝑘=2√2−01−(−2)=2√23，故选：D．4．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则|𝐴𝐹||𝐵𝐹|的值为（）A．3B．2C．32D．43【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（𝑝2，0），∵直线l倾斜角为60°，∴直线l的方程为：y﹣0=√3（x−𝑝2）．设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∴|AF|＝x1+𝑝2，|BF|＝x2+𝑝2，联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，解得x1=3𝑝2，x2=𝑝6，∴|AF|＝x1+𝑝2=2p，|BF|＝x2+𝑝2=2𝑝3，∴|AF|：|BF|＝3：1，∴|𝐴𝐹||𝐵𝐹|的值为3．故选：A．5．（2015•陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（）A．12B．32C．1D．2【解答】解：由{𝑥−𝑦−𝑚=0𝑦2=2𝑝𝑥得：x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2m+2p；又直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（𝑝2，0），∴𝑝2−0﹣m＝0，解得：m=𝑝2．又|AB|＝（x1+𝑝2）+（x2+𝑝2）＝x1+x2+p＝2m+3p＝4p＝6，∴p=32．故选：B．6．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为23．【解答】解：∵曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，∴曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离与到直线y＝﹣2的距离相等，则曲线M为抛物线，其方程为x2＝8y，焦点为F（0，2），则直线y＝kx+2过抛物线的焦点F，当k＝0时，|AF|＝|DF|＝4，则1|𝐴𝐹|+1|𝐷𝐹|=12，当k≠0时，如图，过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y周于E，则|EK|＝|EF|+|FK|＝p+|AF|cos∠AFK＝|AF|，得|AF|=𝑝1−𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐹𝐾，则1|𝐴𝐹|=1−𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐹𝐾𝑝，同理可得1|𝐷𝐹|=1+𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐹𝐾𝑝，∴1|𝐴𝐹|+1|𝐷𝐹|=2𝑝=12，化圆N：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，则圆N的圆心为F，半径为1，|AC|+4|BD|＝|AF|+1+4（|DF|+1）＝|AF|+4|DF|+5＝2（|AF|+4|DF|）×（1|𝐴𝐹|+1|𝐷𝐹|）+5＝2（5+|𝐴𝐹||𝐷𝐹|+4|𝐷𝐹||𝐴𝐹|）+5≥2(5+2√|𝐴𝐹||𝐷𝐹|⋅4|𝐷𝐹||𝐴𝐹|)+5=23．当且仅当|AF