【新高考复习】考点03 函数及其表示方法-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）（解析版）

2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）考点03函数及其表示方法知识点1:函数的定义域与值域例1.已知函数f（x）的定义域为[﹣2，1]，则函数y＝的定义域为（）A．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）【答案】D【分析】根据函数f（x）的定义域以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：0＜x＜1，故选：D．【知识点】函数的定义域及其求法2.关于函数．下列说法错误的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减C．f（x）的值域为（0，1]D．不等式f（x）＞e﹣2的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【答案】D【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及不等式的解法的应用求出结果．【解答】解：对于函数．对于A，由于函数满足f（﹣x）＝f（x）所以函数的图象关于y轴对称，故A正确．对于B：根据函数的图象，如图所示：函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故B正确；对于C：根据函数的图象，函数f（x）的值域为（0，1]，故C正确；对于D：不等式f（x）＞e﹣2的解集为（﹣2，2），故D错误．故选：D．【知识点】命题的真假判断与应用、函数的值域练习：1.函数的定义域是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．[3，+∞）【答案】C【分析】根据指数幂的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞2且x≠3，故函数的定义域是（2，3）∪（3，+∞），故选：C．【知识点】函数的定义域及其求法2.已知a＞0且a≠1，若函数的值域为[1，+∞），则a的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．（1，2]【答案】D【分析】可求出x≤2时，f（x）的值域为[1，+∞），从而得出x＞2时，f（x）的值域是[1，+∞）的子集，这样即可求出a的取值范围．【解答】解：∵x≤2时，f（x）∈[1，+∞），且f（x）的值域为[1，+∞），∴x＞2时，f（x）的值域是[1，+∞）的子集，此时logax＞loga2≥1，∴1＜a≤2，∴a的取值范围是（1，2]．故选：D．【知识点】函数的值域3.函数f（x）＝2x+的定义域为，值域为．【答案】【第1空】[3，+∞）【第2空】[8，+∞）【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可；根据函数的单调性求出函数的值域即可．【解答】解：由x﹣3≥0，解得：x≥3，故函数的定义域是[3，+∞），显然y＝2x和y＝在[3，+∞）递增，故f（x）的最小值是f（3）＝8，故f（x）的值域是[8，+∞），故答案为：[3，+∞），[8，+∞）．【知识点】函数的定义域及其求法、函数的值域4.若函数y＝的值域为[﹣1，1]，则实数m的取值范围为．【答案】[1，2]【分析】可求出﹣1≤x＜0时，﹣1≤y＜0，然后根据原函数的值域为[﹣1，1]可得出0≤x≤m时，0≤|x﹣1|≤1，0≤y≤1，这样即可求出m的范围．【解答】解：﹣1≤x＜0时，1＜1﹣x≤2，，且原函数的值域为[﹣1，1]，∴0≤x≤m时，0≤|x﹣1|≤1，即0≤x≤2，∴1≤m≤2，∴m的取值范围为：[1，2]．故答案为：[1，2]．【知识点】函数的值域知识点2:函数的解析式例1.已知min{a，b，c}表示实数a，b，c中的最小值，设函数f（x）＝min{x+1，3x﹣1，g（x）}，若f（x）的最大值为4，则g（x）的解析式可以为（）A．g（x）＝1﹣xB．g（x）＝﹣x2+4x+1C．g（x）＝4x﹣8D．g（x）＝2x﹣4【答案】B【分析】分别画出函数y＝3x﹣1，y＝x+1，以及g（x）的大致图象，根据函数的最大值是4，判断即可．【解答】解：如图，在同一坐标系下分别画出函数y＝3x，y＝x+1，y＝g（x）（大致）的图象，经检验可得B正确，故选：B．【知识点】函数解析式的求解及常用方法练习：1.若，那么等于（）A．8B．3C．1D．30【答案】A【分析】根据题意，分析可得当1﹣2x＝时，有x＝，将x＝代入中，计算可得答案．【解答】解：根据题意，若1﹣2x＝，解可得x＝，在中，令x＝可得：f（）＝＝8，故选：A．【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的值2.如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x2ln|x|B．f（x）＝xlnxC．D．【答案】C【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当x＞0时，，从而排除选项D，只能选C．【解答】解：∵f（x）的图象关于原点对称；∴函数f（x）是奇函数；f（x）＝x2ln|x|为偶函数，f（x）＝xlnx是非奇非偶函数，∴A，B都错误；∵x＞0时，，∴D错误．故选：C．【知识点】函数解析式的求解及常用方法3.已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．【答案】4【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．【知识点】函数解析式的求解及常用方法4.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则函数f（x）在[1，2]上的解析式是﹣【答案】f（x）=log2（3-x）【分析】设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）＝f（x﹣2）＝f（2﹣x），从而得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），∴设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），∴f（2﹣x）＝log2[（2﹣x）+1]＝log2（3﹣x），又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）＝f（x﹣2）＝f（2﹣x）＝log2（3﹣x）．故答案为：f（x）＝log2（3﹣x）．【知识点】函数解析式的求解及常用方法知识点3:函数的图像与变换例1.已知函数f（x）＝x+，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）有最小值为n．则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝log|x+n|的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意可得m＝3，n＝4，则函数，判断函数g（x）的单调性，结合选项即可得解．【解答】解：∵函数，当且仅当，即m＝3时取等号，∴m＝3，n＝4，则函数的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合．故选：A．【知识点】函数的图象与图象的变换练习：1.函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝ex关于x轴对称，则f（x）＝（）A．﹣ex﹣1B．﹣ex+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+1【答案】A【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝ex关于x轴对称的函数为﹣y＝ex，即y＝﹣ex，然后向右平移一个单位得到f（x），得y＝﹣ex﹣1，即f（x）＝﹣ex﹣1，故选：A．【知识点】函数的图象与图象的变换2.已知函数f（x）＝，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，据此排除BCD，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，有3|x|﹣1≠0，解可得x≠0，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BCD，故选：A．【知识点】函数的图象与图象的变换3.设函数f（x）＝2﹣|x﹣1|，x∈（﹣1，3），定义在R上的偶函数g（x）满足g（1+x）＝g（1﹣x），当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x+1，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为．【答案】4【分析】根据题意，由f（x）的解析式可得f（x）的图象关于直线x＝1对称，进而分析g（x）的图象的对称性，作出f（x）与g（x）的大致图象，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2﹣|x﹣1|＝（）|x﹣1|，其图象关于直线x＝1对称，函数g（x）为偶函数，且满足g（1+x）＝g（1﹣x），则g（x）的图象也关于直线x＝1对称，当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x+1，则函数f（x）与g（x）的大致图象如图，在区间（﹣1，3）上，两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，则两个图象所有交点的横坐标之和为4，故答案为：4．【知识点】函数的图象与图象的变换、函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系4.函数f（x）＝|ax+b|（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的取值范围是．【答案】（0，+∞）【分析】由图可得：+b＝0，a＞1，利用配方法，可得a+b的取值范围．【解答】解：由图可得：函数f（x）＝|ax+b|（a＞0，a≠1，b∈R）的零点为，即+b＝0，当x＞时，函数为增函数，故a＞1，故a+b＝a﹣＝（）2﹣∈（0，+∞），（a＞1）．故答案为：（0，+∞）．【知识点】函数的图象与图象的变换知识点4:分段函数例1.设f（x）＝则使得f（m）＝1成立的m值是（）A．10B．0，10C．0，﹣2，10D．1，﹣1，11【答案】C【分析】因为是分段函数，所以分：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1和当m≥1时，f（m）＝4﹣＝1两种情况取并集．【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4﹣＝1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值练习：1.已知函数f（x）＝，若f（1）＝f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）＝f（﹣1）转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）＝2，f（1）＝a，若f（1）＝f（﹣1），∴a＝2，故选：B．【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法2.函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【答案】B【分析】先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a、b、c的取值范围，再利用函数解析式证明ab＝1，最后数形结合写出其取值范围即可【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法3.设函数f（x）＝则的值为．【分析】本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．【解答】解：由于2＞1，故f（2）＝22+2﹣2＝4故＝≤1故＝1﹣＝故答案为．【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值4.已知函数f（x）＝，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．【答案】（25，34）【分析】画出函数的图象，根据f（a）＝f（b）＝f（c），不妨设a＜b＜c，求出a+b+c的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则：b+c＝2×12＝24，a∈（1，10）则a+b+c＝24+a∈（25，34），故答案为：（25，34）．【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的图象与图象的变换1.已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16]C．[0，4]D．[0，2]【答案】B【分析】由4﹣x2≥0，解得，﹣2