【新高考复习】专题3.8 函数与方程 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析

专题3.8函数与方程新课程考试要求理解函数零点的概念.核心素养培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例3.4.5等）、逻辑推理（例5.6）、数据分析（例3.4）、直观想象（例2.7--11）等核心数学素养.考向预测1．分段函数与函数方程结合；2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.【知识清单】1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【考点分类剖析】考点一：求函数的零点【典例1】（2021·全国高三其他模拟）设xR，定义符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，则方程2sgn21xxx的解是（）A．1B．12C．1或12D．1或12或12【答案】C【解析】根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.【详解】解：当0x时，方程2sgn21xxx可化为221xx，化简得210x，解得1x；当0x时，方程2sgn21xxx可化为01，无解；当0x时，方程2sgn21xxx可化为221xx，化简得2210xx，解得12x（舍去）或12x；综上，方程2sgn21xxx的解是1或12.故选：C.【典例2】（2020·上海高三三模）函数2,1()(2),1xxfxxx„，如果方程()fxb有四个不同的实数解1x、2x、3x、4x，则1234xxxx．【答案】4【解析】作出函数2,1()(2),1xxfxxx„的图象，方程()fxb有四个不同的实数解，等价为()yfx和yb的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为1x、2x、3x、4x，且1234xxxx，由1x、2x关于原点对称，3x、4x关于(2,0)对称，可得120xx，344xx，则12344xxxx．故答案为：4．【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理））已知函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−4)，则方程𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)的所有解的和为（）A．4+√3B．1C．3D．5【答案】C【解析】∵𝑓（𝑥）是定义在R上的奇函数，且当𝑥≥0时，𝑓（𝑥）=𝑥（𝑥−4）∴当𝑥＜0时，−𝑥＞0则𝑓（−𝑥）=−𝑥（−𝑥−4）=−𝑓（𝑥）即𝑓（𝑥）=−𝑥（𝑥+4），𝑥＜0则𝑓(𝑥)={𝑥(𝑥−4),𝑥≥0−𝑥(𝑥+4),𝑥0作出𝑓（𝑥）的图象如图：∵𝑦=𝑓（2−𝑥）的图象与𝑦=𝑓（𝑥）的图象关于𝑥=1对称∴作出𝑦=𝑓（2−𝑥）的图象，由图象知𝑦=𝑓（2−𝑥）与𝑦=𝑓（𝑥）的图象有三个交点即𝑓（𝑥）=𝑓（2−𝑥）有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于𝑥=1对称即𝑎+𝑏=2则所有解的和为𝑎+𝑏+1=2+1=3故选：C．【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数𝑓（𝑥）的解析式，结合𝑦=𝑓（2−𝑥）的图象与𝑦=𝑓（𝑥）的图象关于𝑥=1对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)的所有解的和．2.（2021·福建高三二模）已知函数21,0,()log,0xxfxxx则函数yffx的所有零点之和为___________.【答案】12【解析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数yffx的所有零点，从而得解．【详解】解：0x„时，10x，1x，由()1fx，可得11x或2log1x，2x或12x；0x时，2log0x，1x，由()1fx，可得11x或2log1x，0x或2x；函数yffx的所有零点为2，12，0，2，所以所有零点的和为1120222故答案为：12．考点二：判断函数零点所在区间【典例3】（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数ln6fxxx的零点一定位于区间（）A．2,3B．3,4C．4,5D．5,6【答案】C【解析】根据零点存在性定理，若在区间(,)ab有零点，则()()0fafb，逐一检验选项，即可得答案.【详解】由题意得ln6fxxx为连续函数，且在(0,)单调递增，(2)ln240,(3)ln330ff，2(4)ln42ln20fe，(5)ln51ln10fe，根据零点存在性定理，(4)(5)0ff，所以零点一定位于区间4,5.故选：C【典例4】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数31()102fxxx的零点所在的大致区间为（）A．(1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)【答案】D【解析】因为函数31()102fxxx在R上单调递减,(2)10f,(3)0f,所以零点所在的大致区间为(2,3)故选:D【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．【特别提醒】二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．【变式探究】1．（2021·宁夏高三其他模拟（文））函数3()9xfxex的零点所在的区间为（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4【答案】B【解析】根据零点存在性定理，由3()9xfxex为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】由xe为增函数，3x为增函数，故3()9xfxex为增函数，由(1)80fe，2(2)10fe，根据零点存在性定理可得0(1,2)x使得0()0fx，故选：B.2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1]B．[4.1，5]C．[1.9，2.3]D．[5，6.1]【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C考点三：判断函数零点的个数【典例5】（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】当𝑥0时2−𝑥2,所以𝑓(𝑥)=2−|𝑥|=2+𝑥,𝑓(2−𝑥)=𝑥2,此时函数𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(2−𝑥)−3=𝑥2+𝑥−1的小于零的零点为𝑥=−1+√52;当0≤𝑥≤2时𝑓(𝑥)=2−|𝑥|=2−𝑥,𝑓(2−𝑥)=2−|2−𝑥|=𝑥,函数𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=2−𝑥+𝑥−3=−1无零点;当𝑥2时,𝑓(𝑥)=(𝑥−2)2,𝑓(2−𝑥)=2−|2−𝑥|=4−𝑥,函数𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=(𝑥−2)2+4−𝑥−3=𝑥2−5𝑥+5大于2的零点为𝑥=5+√52,综上可得函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的零点的个数为2.故选A.【典例6】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数fx的定义域为R，fx是周期为2的奇函数，yfx在区间1,1上恰有5个零点，则fx在区间0,2020上的零点个数为（）A．5050B．4041C．4040D．2020【答案】B【解析】由函数fx的定义域为R上的奇函数，可得00f，又由yfx在区间1,1上恰有5个零点，可得函数fx在区间[1,0)和(0,1]内各有2个零点，因为fx是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f，即函数fx在区间(0,2]内有4个零点，所以fx在区间0,2020上的零点个数为20204140412个零点.故选：B.【规律方法】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【变式探究】1.（2020·开原市第二高级中学高三月考）函数21()fxxx，(0,)x的零点个数是（）.A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于20x，10x，因此不存在(0,)x使得21()0fxxx，因此函数没有零点.故选：A.2.（2020·江苏省高三其他）设[]t表示不超过实数t的最大整数(如[1.3]2，[2.6]2)，则函数()21fxxx的零点个数为_______.【答案】2【解析】函数()21fxxx的零点即方程21xx的根，函数fx的零点个数，即方程21xx的根的个数.210,0,0xxx.当01x时，10,210,2xxx.当1x时，1,211,211xxx或211,1xx或0x（舍）.当1x时，2121xxxx，方程21xx无解.综上，方程21xx的根为12，1.所以方程21xx有2个根，即函数()21fxxx有2个零点.故答案为：2.考点四：函数零点的应用【典例7】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数232,3,xxxmfxxxm，若