【新高考复习】专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 2022年高考数学一轮复习讲练测（

专题8.3空间点、直线、平面之间的位置关系1.（广东高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A.与，都相交B.与，都不相交C.至少与，中的一条相交D.至多与，中的一条相交【答案】C【解析】试题分析：若直线和是异面直线，在平面，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，的一条相交.故选A．2．（2019·全国高考真题（理））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．3.（2020·武威第六中学高三其他（理））已知a，b为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若//，//，则//；②若//a，//a，则//；③若，，则；④若a，b，则//ab.其中正确命题序号为()A．②③B．②③④C．①④D．①②③【答案】C1l2l1l2ll1l2ll1l2ll1l2ll1l2l1l2l1l2lll1l2l//////练基础【解析】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//，//，则//，故①正确；若//a，//a，平面,可能相交，故②错误；若，，则,可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C4.（2021·嘉禾县第一中学高一月考）若l，m，n是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．若//，l，n，则//lnB．若//，l，则lC．若ln，mn，则//lmD．若l，//l，则【答案】D【解析】由面面平行的性质可判断选项A、B；由空间中线线位置关系可判断C；由线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：//，l，n，则l，n平行或异面，所以A不正确；对于B：//，l，则//l平行，所以选项B不正确；对于C：ln，mn，l与m可能平行、异面或相交，所以选项C不正确；对于D：由//l，设经过l的平面与相交，交线为c，由线面平行的性质定理可知//lc，又因为l，所以c，又因为c，由面面垂直的判定定理可得故选项D正确．5.（2019·北京高考真题（文））已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.6.（全国高考真题（文））已知正方体1111ABCDABCD中，E为11CD的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.【答案】23【解析】【详解】连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．7．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）以下命题中：（1）若直线a，b和平面满足：//ab，b，那么//a；（2）若直线a和平面平行，那么a与内的任何直线平行；（3）平行于同一条直线的两个平面平行；（4）若直线a，b和平面满足//ab，//a，b，则//b，正确的是______.【答案】（4）【解析】利用直线与平面之间的位置关系逐一进行判断即可.【详解】（1）中，//ab，b，那么//a，或者a，故错误；（2）中，若直线a和平面平行，那么a与内的直线平行或者异面，故错误；（3）中，平行于同一条直线的两个平面可以平行，可以相交，故错误；（4）中，根据线面平行的判定定理可知，//ab，//a，b，则//b，故正确.故答案为：（4）.8．（2021·重庆市第七中学校高一期中）如图，在圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB交CD于点O，且ABCD，P为SB的中点，2SOOB.（1）求证：//SA平面PCD；（2）求圆锥的表面积和体积.【答案】（1）证明见解析；（2）表面积为442π，体积为8π3.【解析】（1）连接PO，由中位线的性质可得//POSA，再由线面平行的性质定理即可求证；（2）根据题意求出圆锥的底面半径，高和母线，由表面积公式和体积公式即可求解.【详解】（1）连接PO，∵P、O分别为SB、AB的中点，∴//POSA，又∵PO平面PCD，SA平面PCD，∴//SA平面PCD；（2）∵2SO，2OB，SO为圆锥的高，圆锥底面圆的半径2rOB，∴圆锥的体积2118ππ22333VSh，∵母线2222lSBSOOB，∴圆柱的表面积22πππ2π222442πSrrl.9．（2021·江门市第二中学高二月考）如图，在长方体1111ABCDABCD中，11,2ADAAAB，点E在棱AB的中点.（1）证明：11DEAD；（2）求直线CE与1AD所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60.【解析】（1）由1AAAD，得到四边形11ADDA为正方形，证得11ADAD，又由1ADAB，证得1AD平面11ABCD，即可证得11DEAD；（2）连接11,BCBE，得到11//BCAD，根据异面直线所成角的定义，得到1BCE是异面直线CE与1AD所成角，在1BCE△中，即可求解.【详解】（1）在长方体1111ABCDABCD中，因为1AAAD，可得四边形11ADDA为正方形，所以11ADAD，又因为1ADAB，1ADBA，1AD平面11ABCD，1AB平面11ABCD，所以1AD平面11ABCD，又由1DE平面11ABCD，所以11DEAD.（2）连接11,BCBE，在长方体1111ABCDABCD中，可得11//BCAD，所以异面直线CE与1AD所成角即为直线CE与1BC所成角,即1BCE（或其补角）CE与1AD所成角，在直角1BBC中，由11BBBC，可得22112BCBBBC，在直角BCE中，由1BEBC，可得222CEBEBC，在直角1BBE中，由11BBBE，可得22112BEBBBE，所以1BCE△为等边三角形，所以160BCE，即异面直线CE与1AD所成角60.10．（2021·揭阳第一中学高一期末）已知PA矩形ABCD所在的平面，且PAAD，M、N分别为AB、PC的中点.求证：（1）//MN平面ADP；（2）MNPC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取PD的中点Q，连接AQ、QN，证明出四边形AMNQ为平行四边形，可得出//MNAQ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出AQ平面PCD，可得出MN平面PCD，由线面垂直的性质可得出MNPC.【详解】（1）取PD的中点Q，连接AQ、QN，NQ、Q分别为PC、PD的中点，则//NQCD且12NQCD，四边形ABCD为矩形，则//ABCD且ABCD，M为AB的中点，所以，//AMCD且12AMCD，所以，//AMNQ且AMNQ，故四边形AMNQ为平行四边形，所以，//MNAQ，因为AQ平面ADP，MN平面ADP，因此，//MN平面ADP；（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，ADCD，ADAPA，所以，CD平面PAD，AQ平面PAD，则AQCD，PAAD，Q为PD的中点，则AQPD，因为CDPDD，AQ平面PCD，//MNAQ，故MN平面PCD，PC平面PCD，因此，MNPC.1．（2020·浙江高三开学考试）四面体ABCD中，3ABCD，其余棱长均为4，E，F分别为AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EFCD练提升TIDHNEB．存在E，使得DECDC．存在E，使得DE平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE平面ABF【答案】D【解析】作出示意图如下图所示：'',EF分别是AB，CD的中点，CH面ABD于H，DG面ABC于G，对于A选项，取E，F分别在AB，CD的中点'',EF时，因为3ABCD，其余棱长均为4，所以ABCABDVV，所以''CEDE，所以''EFCD，即EFCD，故A错误；对于D选项，取E，F分别在AB，CD的中点'',EF时，由A选项的解析得''EFCD，'AFCD，''''EFAFF，所以CD面'ABF，又CD面'ECD，所以平面'CDE平面'ABF，即平面CDE平面ABF，故D正确；对于B选项，作CH面ABD于H，因为ABD△中，4ADBD，所以H定在AB的中线'DE上，所以'CDE就是CD与面ABD所成的角，当E在AB上移动时，CDE的最小值为直线CD与平面ABD所成的角，即'CDE，而'CDE是锐角，CDE的最大值为2CDBCDA，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD.故B错误.对于C选项，作DG面ABC于G，因为ABC中，4ACBC，所以G定在AB的中线'CE上，且不重合于点'E，即点G不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C选项不正确，故选：D.2．【多选题】（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司月考）（多选题）如图1，点E为正方形ABCD边BC上异于点,BC的动点，将ABE沿AE翻折，得到如图2所示的四棱锥BAECD，且平面BAE平面AECD，点F为线段BD上异于点,BD的动点，则在四棱锥BAECD中，下列说法正确的有()A．直线BE与直线CF必不在同一平面上B．存在点E使得直线BE平面DCEC．存在点F使得直线CF与平面BAE平行D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直【答案】AC【解析】A.假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又E在线段BC上，BCI平面BCF=C，所以E与C重合，与E异于C矛盾，所以直线BE与直线CF必不在同一平面上；B.若存在点E使得直线BE平面DCE，AE平面AECD,所以BEAE⊥,又ABBE,所以△ABE中有两个直角，与三角形内角和为180矛盾，所以不存在点E使得直线BE平面DCE；C.取F为BD的中点，12ECAD,再取AB的中点G，则ECFG且EC=FG，四边形ECFQ为平行四边形，所以FCEG,则直线CF与平面BAE平行；D.过B作BOAE于O，因为平面BAE平面AECD,平面BAE平面AECD=AE,所以BO平面AECD.过D作DHAE于H，因为平面BAE平面AECD,平面BAE平面AECD=AE,所以DH平面BAE，所以DHBE.若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH平面AECD,DC平面AECD,DHDCD,所以BE平面AECD,所以E与O重合，与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直.故选A、C.3.【多选题】（2020·全国高三月考）（多选题）在四棱锥PABCD中，侧面PAD平面ABCD，PDAB，四边形ABCD是正方形，点E是棱PB的中点，则（）A．PD平面ABCDB．//PD平面ACEC．2PBAED．PCAE【答案】BC【解析】如图，对于A，因为PD与AD不一定垂直，所以