【新高考复习】考点02 充要条件与量词（解析版）

考点02充要条件与量词【命题解读】充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定【基础知识回顾】1、充分条件与必要条件（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p（2）从集合的角度：若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2、全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．3、存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．(2)特称命题：含有存在量词的命题．(3)特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．1、命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x0＜0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x＜0【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.2、“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】选B若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.3、命题“∃x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题(选填“真”或“假”)．【答案】真【解析】取x＝1，则x2－1＝0，所以为真命题．4、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知,xyR,则“1a”是“直线1010axyxay和直线平行”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个）.【答案】充要【解析】当两直线平行时210a,解得1a,但当1a时,直线重合,故1a.所以为充要条件.5、(一题两空)已知p：|x|≤m(m0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；若p是q的必要条件，则m的最小值为________．【答案】14【解析】由|x|≤m(m0)，得－m≤x≤m.若p是q的充分条件⇒－m≥－1m≤4⇒0m≤1.则m的最大值为1.若p是q的必要条件⇒－m≤－1m≥4⇒m≥4.则m的最小值为4.考向一、充要条件、必要条件的判断例1、已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．【答案】必要不充分【解析】根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直．现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分．变式1、.设x∈R，则“1x2”是“|x－2|1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x－2|1，得1x3，所以1x2⇒1x3；但1x31x2.所以“1x2”是“|x－2|1”的充分不必要条件.变式2、设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a－3b|＝|3a＋b|⇔(a－3b)2＝(3a＋b)2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.变式3、下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．:37pm；q：方程22173xymm的曲线是椭圆B．:8pa…；q：对[1x，3]不等式20xa„恒成立C．设{}na是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，2120nnaaD．已知空间向量(0a，1，1)，(bx，0，1)，:1px；q：向量a与b的夹角是3【答案】ABC：．【解析】A，若方程22173xymm的曲线是椭圆，则703073mmmm，即37m且5m，即“37m”是“方程22173xymm的曲线是椭圆”的必要不充分条件；B，[1x，3]不等式20xa„恒成立等价于2ax…恒成立，等价于9a…；“8a…”是“对[1x，3]不等式20xa„恒成立”必要不充分条件；:{}nCa是首项为正数的等比数列，公比为q，当11a，12q时，满足0q，但此时12111022aa，则2120nnaa不成立，即充分性不成立，反之若2120nnaa，则2221110nnaqaq10a，22(1)0nqq，即10q，则1q，即0q成立，即必要性成立，则“0q”是“对任意的正整数n，2120nnaa”的必要不充分条件．D：空间向量(0a，1，1)，(bx，0，1)，则001ab，cosa，22222211cos32||||0(1)10(1)abbabx，解得1x，故“1x”是“向量a与b的夹角是3”的充分不必要条件．方法总结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，考向二充要条件等条件的应用例2、设命题:|43|1px≤；命题2:(21)(1)0qxaxaa≤．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】：设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要条件，即AB，∴故所求实数a的取值范围是［0，］.变式1、已知不等式102xx…的解集为条件p，关于x的不等式222310xmxmm（23m）的解集为条件q．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若p的充分不必要条件是q，求实数m的取值范围．【解析】条件由，可得，解得，记；条件由，可得，因为，所以，所以，记．（1）若是的充分不必要条件，则，可得，解得，所以实数的取值范围是；（2）若的充分不必要条件是，则，可得，解得，又，所以实数的取值范围是．变式2、已知p：xx＋2≥0，x－10≤0，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m0}．(1)若m＝1，则p是q的什么条件？(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为p：xx＋2≥0，x－10≤0＝{x|－2≤x≤10}，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m0}＝{x|0≤x≤2}，显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，所以p是q的必要不充分条件．(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，21,1121aa21p：102xx…(1)(2)020xxx„12x„[12)A，q：222310xmxmm[(21)][(1)]0xmxm23m(21)1mm211mxm(211)Bmm，pqABÞ21112mm…1m…m[1)，pqBAÞ21112mm…„0m„23mm2(0]3，所以m0，1－m≤－2，1＋m≥10，1－m＝－2与1＋m＝10不同时相等.解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．考向三含有量词的命题例3、（1）写出下列命题的否定，并判断真假．（1）:pxR，都有xx；（2）:pxR，32xx；（3）:p至少有一个二次函数没有零点；（4）:p存在一个角R，使得sin2cos21．（2）下列四个命题：①∃x∈(0，＋∞)，1123xx；②∃x∈(0,1)，1123loglogxx；③∀x∈(0，＋∞)，12x12logx；④∀x∈0，13，12x13logx.其中真命题的序号为________．【解析】（1）(1)p是全称命题．p：11|1|1xRxxx，有，如＝－，－＝－，所以p是真命题．(2)p是全称命题．p：xR，32xx，如01x＝－时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以p是真命题．(3)p是存在性命题．p：所有二次函数都有零点，如二次函数22(2312)0yxxx＝＋＋＝＋＋＞.xR，2230yxx＝＋＋.因为p是真命题，所以p是假命题．(4)p是存在性命题．p：22sincos1R，＋＝，设任意角终边与单位圆的交点为()Pxy，．则sincosyx，显然有221yx＋＝，所以p是真命题．（2）②④对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有12x13x成立，故①是假命题；对于②，当x＝12时，有1112331111=log=loglog232成立，故②是真命题；对于③，当0x12时，12logx112x，故③是假命题；对于④，∀x∈0，13，12x113logx，故④是真命题变式1、设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆均相切；B．存在一条定直线与所有的圆均相交；C．存在一条定直线与所有的圆均不相交；D．所有的圆均不经过原点．其中为真命题的是（）．【答案】：BD【解析】：圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4的圆心坐标为(k－1,3k)，则圆心在直线3x－y＋3＝0上，由k＝1,2,3可作图观察出所有圆都与y轴相交，即(k－1)2＋(y－3k)2＝2k4关于y的方程有解；所有圆均不经过原点，即关于k的方程(k－1)2＋9k2＝2k4，即2k4－10k2＋2k－1＝0，没有正整数解，因此四个命题中BD正确．方法总结：1、判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定．考向四全称（存在）量