【新高考复习】考点10 函数的单调性（原卷版）

考点10函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(或都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2.函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4.函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在D上是增函数；f()x1－f()x2x1－x20⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反；(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．1、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数2、函数y＝1x－1在[2，3]上的最小值为()A．2B.12C.13D．－123、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，234、设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(D)A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数5、对数函数log(0ayxa且1)a与二次函数2(1)yaxx在同一坐标系内的图象不可能是()A．B．C．D．6、函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是；单调递减区间是．考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．变式1、试讨论函数f(x)＝x＋kx(k0)的单调性．变式2、试讨论函数f(x)＝axx2＋1(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．方法总结：1.判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2.应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y＝－x2＋2|x|＋1；（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()A.32，＋∞B.1，32和[2，＋∞)C．(－∞，1]和32，2D.－∞，32和[2，＋∞)变式2、函数f(x)＝x＋12x＋1的单调减区间为________________．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三复合函数的单调区间例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x2－2x－3；（2）212log(32)yxx变式1、函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为（）A．,0B．2,C．0,D．,2．变式2、函数f(x)＝2x－x2的单调递增区间为()A.－∞，12B.0，12C.12，＋∞D.12，1方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。考向四函数单调性中的含参问题例4、已知函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x＜1，2x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________．变式1、如果函数f(x)＝（2－a）x＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20成立，那么a的取值范围是________.变式2、设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a可能的值为()A．－2B．0C．1D．2例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝log2（x＋1），x≥1，1，x＜1，则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是()A．(－∞，0]B．(3，＋∞)C．[1，3)D．(0，1)变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212[()()]()0fxfxxx恒成立，若(31)(2)0fxf，则x的取值范围是________．变式2、已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是()A．(－1，1)B．(0，1)C．(－1，0)∪(0，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)方法总结：:1.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.2.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.1、(2015北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是A．xyeB．3yxC．lnyxD．yx2、（2017北京）已知函数1()3()3xxfx，则()fxA．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数3、（2019北京理13）设函数(a为常数)，若为奇函数，则a=______；若是上的增函数，则a的取值范围是________．4、(2018北京)能说明“若()(0)fxf对任意的(0,2]x都成立，则()fx在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．5、（2017山东）若函数e()xfx(e=2．71828，是自然对数的底数)在()fx的定义域上单调递增，则称函数()fx具有M性质，下列函数中具有M性质的是①()2xfx②()3xfx③3()fxx④2()2fxx6、(2012安徽)若函数()|2|fxxa的单调递增区间是),3[，则a=________．7、已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．()exxfxea()fx()fxR