【新高考复习】考点11 函数的奇偶性与周期性（解析版）

考点11函数的奇偶性与周期性【命题解读】关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1、奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2、奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．3、周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4、函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．5、函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．6、函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．1、下列函数为奇函数的是A．yxB．sinyxC．cosyxD．xxyee【答案】D【解析】∵函数yx的定义域为[0,)，不关于原点对称，所以函数yx为非奇非偶函数，排除A；因为|sin|yx为偶函数，所以排除B；因为cosyx为偶函数，所以排除C；因为()xxyfxee，()()()xxxxfxeeeefx，所以()xxyfxee为奇函数．2、若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=(A)21(B)32(C)43(D)1【答案】A【解析】∵))(12()(axxxxf为奇函数，∴(1)(1)0ff，得12a．3、设)(xf是定义在R上的奇函数，当0x≤时，2()2fxxx，则(1)f=A．－3B．－1C．1D．3【答案】A【解析】因为)(xf是定义在R上的奇函数，且当0x„时，2()2fxxx，∴2(1)(1)2(1)(1)3ff，选A．4、设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是A．()fx()gx是偶函数B．()fx|()gx|是奇函数C．|()fx|()gx是奇函数D．|()fx()gx|是奇函数【答案】B【解析】()fx为奇函数，()gx为偶函数，故()fx()gx为奇函数，()fx|()gx|为奇函数，|()fx|()gx为偶函数，|()fx()gx|为偶函数，故选B．5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有()A．f32f－14f14B．f14f－14f32C．f32f14f－14D．f－14f－32f14【答案】C【解析】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图(如图)，由图可知f32f14f－14，6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋2)为偶函数D．函数f(x－3)为偶函数【答案】BC【解析】偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(x＋2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函数得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，则有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误．故选B、C.7、(2018江苏)函数()fx满足(4)()()fxfxxR，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2xxfxxx≤-≤则((15))ff的值为．【答案】22【解析】因为函数()fx满足(4)()fxfx(xR)，所以函数()fx的最小正周期是4．因为在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2xxfxxx≤-≤，所以12((15))((1))()cos242fffff考向一奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝3－2x＋2x－3；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(5)f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0.【解析】：(1)∵由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(4)∵由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0．∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．变式1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2||x＋3－3.（4）f(x)＝－x2＋2x＋1，x0，x2＋2x－1，x0；【解析】(1)由229090xx≥，≥得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1-x011+0xx≥，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由240330xx≥，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝4－x2()x＋3－3＝4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)当x0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．变式2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2x2.【解析】：(1)由1－x2≥0，x2－1≥0⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)因为f(x)有意义，则满足1－x1＋x≥0，所以－1x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．(3)因为4－x2≥0，x2≠0，所以－2≤x≤2且x≠0，所以定义域关于原点对称．又f(－x)＝4－（－x）2（－x）2＝4－x2x2，所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．方法总结：1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．考向二函数的周期性及应用例2、．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R上的函数满足(3)(3)fxfx，且()fx图像关于1x对称，当(1,2]x时，2()log(21)fxx，则8252f________.【答案】-2【解析】因为()fx图像关于1x对称，则()(2)fxfx，()(2)(31)(31)(4)(8)fxfxfxfxfxfx，故()fx是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222ffffff23log(21)22故答案为：2.变式1、已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（）A．2019B．2C．0D．﹣2【答案】D【解析】∵f（x+3）＝﹣f（x），∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（2019）＝f（3），又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，∴f（2019）＝﹣2．故选：D．变式2、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝