【新高考复习】考点22 利用导数研究函数的极值和最值（原卷版）

考点22利用导数研究函数的极值和最值【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A．1＋ln2B．1－ln2C.1＋ln22D.1－ln222、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点3、设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点4、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A．－4B．－2C．4D．25、函数3230fxxaxaa的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．考向一利用导数研究函数的极值例1、已知函数32331(R,0)fxaxxaaa，求函数fx的极大值与极小值．变式1、已知函数f(x)＝1x＋lnx，求函数f(x)的极值．方法总结：(1)求函数fx极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数fx；③解方程0fx，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在0fx的根0x左右两侧值的符号，如果左正右负，那么fx在0x处取极大值，如果左负右正，那么fx在0x处取极小值．(2)若函数yfx在区间内有极值，那么yfx在,ab内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．变式1、已知aR，函数ln1afxxx.32112fxxxax2ayfx0,0f1fxx在fx32,2(1)当1a时，求曲线yfx在点2,2f处的切线方程；(2)求fx在区间0,e上的最小值．变式2、已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．考向三极值（最值）的综合性问题例3、已知函数323(,)fxaxbxxabR在1x处取得极大值为2.(1)求函数fx的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx都有12fxfxc，求实数c的最小值．变式1、已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数（是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论极值点的个数；（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：.方法总结：1.当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2.当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、（2017年高考全国Ⅱ卷理数）若2x是函数21()(1)exfxxax的极值点，则()fx的极小值为A．1B．32eC．35eD．12、【2019年高考北京理数】设函数eexxfxa（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．211e22xfxxaxaxefx002xxfx22ef01fx3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是_____________．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a≠0）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值．5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数2exfxaxx．（1）当1a时，讨论fx的单调性；（2）当0x时，3112fxx，求a的取值范围．6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数2ln1fxx．（1）若2fxxc，求c的取值范围；（2）设0a，讨论函数fxfagxxa的单调性．22()(24)ln4(fxaxxxaxxaR1a