【新高考复习】考点28 三角恒等变换（2）（原卷版）

考点28三角恒等变换（2）【命题解读】运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角【基础知识回顾】知识梳理1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2.要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4，还有1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±t2－12.4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等．5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.则－a2＋b2≤y≤a2＋b2.(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝asinx＋bcsinx＋d(或y＝acosx＋bccosx＋d)可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋cbsinx(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．1、若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π42、已知α，β∈π3，5π6，若sinα＋π6＝45，cosβ－5π6＝513，则sin(α－β)的值为____________．A．1665B.3365C.5665D．63653、已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________.4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210.则cos(α－β)＝________，2α－β＝________.5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】若πcosα2cosα4，则πtanα8______．考向一变角的运用例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知5cos45，0,2，则sin24的值为______．变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知为锐角，且1cos63，则sin__________．变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈0，π3，已知向量a＝(6sinα，2)，b＝1，cosα－62，且a⊥b.(1)求tanα＋π6的值；(2)求cos2α＋7π12的值．方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二求角例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝437，α∈0，π2.(1)求sinπ4＋α的值；(2)若cos(α＋β)＝1114，β∈0，π2，求β的值．变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255．求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．变式2、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点(1,2)P．(1)求cos2sin2的值；(2)若10sin()10，且0,2，求角的值．方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三公式的综合运用例3、【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知函数2()13cos2sin()4fxxx，（1）求()fx的最小正周期和单调递减区间。（2）若方程()0fxm在区间[,]4上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。变式1、（2020江苏淮安楚州中学月考）已知函数2()(3cossin)23sin2fxxxx=+-．(1)求函数()fx的最小值，并写出()fx取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若,22x，求函数()fx的单调增区间．变式2、（2020江苏如东高级中学月考）已知函数．若，求函数的值域．方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．1、（2016•新课标Ⅱ，理9）若3cos()45，则sin2()A．725B．15C．15D．7252、（2011浙江）若02＜＜，02-＜＜，1cos()43，3cos()423，则cos()2A．33B．33C．539D．693、（2015江苏）已知tan2，1tan7，则tan的值为_______．4、（2012江苏）设为锐角，若4cos65，则sin212的值为．5、（2013广东）已知函数．(1)求的值；(2)若，求．2sincos3fxxx02xfx()2cos,12fxxxR3f33cos,,2526f6、（2019年高考浙江卷）设函数()sin,fxxxR.（1）已知[0,2),函数()fx是偶函数，求的值；（2）求函数22[()][()]124yfxfx的值域．7、（2017年高考浙江卷）已知函数22sincos23sincos()()xxxfxxxR．（1）求2()3f的值．（2）求()fx的最小正周期及单调递增区间．8、（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455，-）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．9、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知2()4sinsincos242xfxxx．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数()26gxfx，0,2x的值域．