【新高考复习】考点30 y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质（解析版）

考点30y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主【基础知识回顾】1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2π_ωx＋φ__φ_2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ__0__π2__π__3π2__2π__y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：4、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．常见的结论有：(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()【答案】A【解析】：令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D项，由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C项，故选A.2．为了得到函数y＝sin2x－π6的图象，可以将函数y＝sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度【答案】B【解析】：y＝sin2x－π6＝sin2x－π12，故将函数y＝sin2x的图象向右平移π12个单位长度，可得y＝sin2x－π6的图象．3、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f11π24的值为()第1题图A.－62B.－32C.－22D.－1【答案】D【解析】由图象可得A＝2，最小正周期T＝4×7π12－π3＝π，则ω＝2πT＝2.又f11π24＝2sin7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f(x)＝2sin2x＋π3，f11π24＝2sin11π12＋π3＝2sin5π4＝－1.故选D.4、(2018苏北四市期末）若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】、.4【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、(2018镇江期末）函数y＝3sin2x＋π4的图象两相邻对称轴的距离为________．【答案】、π2【解析】、由题知函数最小正周期T＝2π2＝π.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.6、（2020江苏镇江期中考试）设函数sin,,fxAxA为参数，且0,0,0A的部分图象如图所示，则的值为______．【答案】3【解析】由图象可得fx最小正周期：473126T，即2，2，又77sin126fAA，73262k，kZ，23k，kZ，又0，3，本题正确结果：3．7、已知函数()sin(2)6fxx的图象C1向左平移π4个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．【答案】：[π12，712π]【解析】、：由题设可知C2的曲线方程sin(2)3yx，令222232kxk，得1212kxk．令k＝0得C2在[0，π]上的单减区间为[π12，712π]．考向一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换设函数()sin3cos(0)fxxx的周期为π．(1)求它的振幅、初相；(2)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．【解析】：(1)()sin3cosfxxx132(sincos)22xx2sin()3x,∵T＝π，∴2π＝π，即ω＝2．∴()2sin()3fxx．∴函数(x)sin3cosfxx的振幅为2，初相为3．(2)令X＝2x＋π3，则2sin(2)2sin3yxx．列表，并描点画出图象：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πsinyX010－102sin(2)3Yx020－20(3)(解法1)把sinyx的图象上所有的点向左平移3个单位，得到sin()3yx的图象；再把sin()3yx的图象上的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到sin(2)3yx的图象；最后把sin(2)3yx上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到2sin(2)3yx的图象．(解法2)将sinyx的图象上每一点的横坐标x变为原来的12，纵坐标不变，得到sin2yx的图象；再将sin2yx的图象向左平移π6个单位，得到sin2()sin(2)63yxx的图象；再将sin(2)3yx的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到2sin(2)3yx的图象．变式1、已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．【解析】(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表如下：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin(2x＋π3)020－20描点画出图象，如图所示：(3)(方法1)把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．(方法2)将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin2x＋π3的图象．变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23ysinx的图象，只需把函数2ysinx的图象（）A．向左平移6个单位B．向左平移3单位C．向右平移6个单位D．向右平移3个单位【答案】A【解析】不妨设函数2ysinx的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数23ysinx的图象．于是，函数2ysinx平移个单位后得到函数，sin2()yx，即sin(22)yx，所以有223k，6k，取0k，6π．答案为A．变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos2yfxx上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4个单位长度，得到曲线cos2yx，则6f（）A．1B．-1C．3D．3【答案】D【解析】把cos2yx的图象向左平移4个单位长度，得cos2()cos(2)sin242yxxx的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin4yxx，sin42sin2cos2()cos2yxxxfxx，∴()2sin2fxx，∴()2sin363f．故选：D.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数πsin23fxx的图象向右平移0aa个单位得到函数πcos24gxx的图象，则a的值可以为（）A．5π12B．7π12C．19π24D．41π24【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44gxxx，其图象向左平移a个单位得到函数3()sin(22)4fxxa，而函数πsin23fxx，所以有32243ak5224ak，取1k得1924a.答案选C.方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．2．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．考向二求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2、下图为函数sin()yAx的一段图象．(1)请写出这个函数的一个解析式；(2)求与(1)中函数图象关于直线2x对称的函数图象的解析式．【解析】：(1)13214,,332TT又A＝3，由13sin()2yx的图象过(,0)3，∴103sin()23，6(φ为其中一个值)．∴13sin()26yx为所求．(2)设(,)xy为所求函数图象上任意一点，该点关于直线2x的对称点为(4,)xy，则点(4,)xy必在函数13sin()26yx的图象上．∴13sin[(4)]3sin(2)2626xyx，即13sin()26yx，∴与13sin()26yx的图象关于直线2x对称的函数图象的解析式是13sin()26yx．变式1、(2019苏北四市期末）函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为________．【答案】、π3【解析】、如图，过点A作垂直于x轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM相交于点M，在Rt△AMB中，AM＝4，BM＝12·2πω＝πω，AB＝5，由勾股定理得AM2＋BM2＝AB2，所以16＋πω2＝25，πω＝3，ω＝π3.变式2、(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin12x＋π4B．f(x)＝2sin12x＋3π4C．f(x)＝2sin14x＋3π4D．f(x)＝2sin2x＋π4(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数f(x)＝________________.【答案】、(1)B(2)sinπ2x＋π6【解析】、(1)由题图可知A＝2，T＝2×3π2－