【新高考复习】考点31 正弦定理、余弦定理（解析版）

考点31正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【基础知识回顾】1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA＝b2＋c2－a22bc；(2)cosB＝c2＋a2－b22ca；(3)cosC＝a2＋b2－c22ab.3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1、在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，C＝120°，则AC等于()A．1B．2C．3D．4【答案】：A【解析】：设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.2、已知△ABC，a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于()A．25B.5C．25或5D．均不正确【答案】：C【解析】：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝155·sin30°＝32.∵ba，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝a2＋b2＝25.若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝5.3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B.3C．23D．2【答案】：B【解析】：因为S＝12AB·ACsinA＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝3.所以BC＝3.4、在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A．42B.30C.29D．25【答案】：A【解析】：∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝32＝42.故选A.5、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】：B【解析】：由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．6、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】：B【解析】：∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．7、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为．【答案】：233【解析】：由bsinC＋csinB＝4asinBsinC，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝12.因为b2＋c2－a2＝8，所以cosA＝b2＋c2－a22bc0，所以bc＝833，所以S△ABC＝12×833×12＝233.8、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－3cosCcosB＝3c－ab，则sinCsinA的值为__________．【答案】：3【解析】：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得cosA－3cosCcosB＝3c－ab＝3sinC－sinAsinB，即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此sinCsinA＝3．考向一运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC△中，若13,3,120ABBCC，则AC=（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】余弦定理2222?cosABBCACBCACC将各值代入得2340ACAC解得1AC或4AC(舍去)选A.变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（）A．B．C．D．ABC3AC2BC3cos4CtanA56765373【答案】D【解析】由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出.【解析】由余弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：D．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC，那么tanC________．【答案】15【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝3t，c＝4t，则cosC2222224916122234abctttabtt，∵C∈(0，π)，∴tanC21115cosC．故答案为15．变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc，若coscossinABCabc，22265bcabc，则tanB______．【答案】4【解析】∵coscossinABCabc，∴由正弦定理得coscossinsinsinsinABCABC，∴111tantanAB，又22265bcabc，∴由余弦定理得62cos5A，∴3cos5A，∵A为ABC的内角，∴4sin5A，∴4tan3A，2ABABBCACtanA2222232cos3223244ABACBCBCACC2ABABBCAC3coscos4AC7tan3A∴tan4B，故答案为：4．变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知10ab，5c，sin2sin0BB．（1）求a，b的值：（2）求sinC的值．【答案】（1）3a，7b；（2）5314.【解析】（1）由sin2sin0BB，得2sincossin0BBB，因为在ABC中，sin0B，得1cos2B，由余弦定理2222cosbacacB，得22215252baa，因为10ba，所以2221(10)5252aaa，解得3a，所以7b.（2）由1cos2B，得3sin2B由正弦定理得5353sinsin7214cCBb.方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例2、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A．若tanA＋tanB＋tanC0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是等边三角形【答案】：ACD【解析】：∵tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴选项C正确；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴选项D正确．变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解析】(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴34＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝12，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形【答案】(1)B(2)C【解析】(1)法一：因为bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理知sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，得sin(B＋C)＝sinAsinA.又sin(B＋C)＝sinA，得sinA＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法二：因为bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a，所以asinA＝a，即sinA＝1，故A＝π2，因此△ABC是直角三角形．(2)因为sinAsinB＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．方法总结：判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．(1)求角A的大小；(2)若AB→·AC→＝3，求△ABC的面积．【解析】：(1)(解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，即sinA＝2sinAcosA．因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosA＝12，所以A＝π3．(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋