【新高考复习】人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练10　三角函数与解三角形解答题（word

专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cosx,sinx),b=(4√sinx,4sinx),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)求f(x)在区间[]上的最值.2.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√,MN=√.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√.给出如下三种数值方案:①AD=√;②AD=√;③AD=2√.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,bcosC+ccosB=4,B=.请在下列三个条件中,任意选择一个添加到题目的条件中,求△ABC的面积.①(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB;②b=4√;③√csinB=bcosC.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告.注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=√.(1)若cosAcosC=,求△ABC的面积.(2)试问=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-=sinB-sinA.(1)求角A;(2)若a=2,求的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=.计划在⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ().(1)当θ=时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sinθ的值.专题突破练10三角函数与解:三角形解:答题1.解:由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√sinxcosx+4sin2x=1+2√sin2x+4·-=2√sin2x-2cos2x+3=4sin(-)+3.(1)由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[](k∈Z).(2)由于x∈[],所以2x-[-],故当2x-,即x=时,函数f(x)取最大值7;当2x-=-,即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解:(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC,所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=√,所以MC=√.在△MBC中,由正弦定理可得,而∠BMC=2∠A,所以√°√,即√√√,所以cosA=,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以√=BM2+22-2BM·2·cos120°,解得BM=√-1(负值舍去).3.解:过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin60°=2√,当AD=√时,ADAE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√时,AEADABAC,所以方案②对应△ABD有两解,当AD=2√时,ABADAC,所以方案③对应△ABD只有一解.由方案③知AD=2√,设BD=x(x0),所以在△ABD中由余弦定理得(2√)2=42+x2-2×4×x×cos60°,即x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC中易得BC=8,BD=6BC,符合题意,所以BD的长为6.4.解:若选择条件①,则(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,由正弦定理可得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,整理得a2+b2-c2=ab,所以cosC=,故C=.又B=,所以A=π-.又因为bcosC+ccosB=4,所以b·-+c·-=4,即a=4.由正弦定理可得,所以b==4(√-1),故△ABC的面积S=absinC=×4×4(√-1)×sin=4(3-√).若选择条件②,则b=4√.又因为bcosC+ccosB=4,所以b·-+c·-=4,即a=4.又B=,所以由正弦定理可得,所以sinA=√,所以A=或A=.由于ba,所以BA,因此A=不合题意舍去,故A=,从而C=π-.故△ABC的面积S=absinC=×4×4√×sin=4(√+1).若选择条件③,因为bcosC+ccosB=4,所以b·-+c·-=4,所以a=4.因为√csinB=bcosC,所以√sinCsinB=sinBcosC,所以tanC=√,于是C=,从而A=π-,所以由正弦定理可得,所以b==4(√-1),故△ABC的面积S=absinC=×4×4(√-1)×sin=4(√-1).5.解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,HG=a,即CD=a.测得测角仪器的高是h.③(方法一)在△ACD中,由正弦定理,得-,所以AC=--,在Rt△ACE中,有AE=ACsinβ=-,所以建筑物的高度AB=AE+h=-+h.(方法二)在Rt△ADE中,DE=,在Rt△ACE中,CE=,所以CD=DE-CE=-,所以AE=-,所以建筑物的高度AB=AE+h=-+h.(2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差;③用身高代替测角仪的高度.6.解:(1)由B=,得A+C=,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,即=cosAcosC-sinAsinC.因为cosAcosC=,所以sinAsinC=.因为√√=2√,所以a=2√sinA,c=2√sinC.所以S△ABC=·2√sinA·2√sinC·sinB=4sinA·sinBsinC=4×√√.(2)假设=1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.不满足a+c≥2√,所以=1不成立.7.解:(1)由-=sinB-sinA,可得(b-c)sinC=(sinB-sinA)(b+a),由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理,得cosA=-,因为0Aπ,可得A=.(2)由(1)知A=,设△ABC的外接圆的半径为R(R0),可得2R=√,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc,即bc≤a2=4,当且仅当b=c=2时取等号,又√√√,所以的最小值为√.8.解:(1)在△POQ中,因为∠AQC=,所以∠AQO=.又OA=OB=3,所以OQ=√.设∠OPQ=α,则∠PQO=-α+θ.由正弦定理,得(-)√,即√sinα=cos(α-θ),整理得tanα=√-,其中θ∈().当θ=时,tanα=√.因为α∈(),所以α=.故当θ=时,∠OPQ=.(2)设f(θ)=√-,θ∈(),则f'(θ)=-√-√--√√-.令f'(θ)=0,得sinθ=√,记锐角θ0满足sinθ0=√.当0θθ0时,f'(θ)0;当θ0θ时,f'(θ)0.所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tanα=f(θ)0,则α∈(),又y=tanα单调递增,则当tanα取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sinθ=√.