【新高考复习】考向28 等比数列及其前n项和（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新

考向28等比数列及其前n项和1．（2021·全国高考真题（文））记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S，42SS，64SS成等比数列，从而求出641SS，进一步求出答案.【详解】∵nS为等比数列na的前n项和，∴2S，42SS，64SS成等比数列∴24S，42642SS∴641SS，∴641167SS.故选：A.2．（2016·全国高考真题（文））已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb1，，．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求nb的前n项和．【答案】(Ⅰ)3n-1;(Ⅱ)见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.试题解析：（Ⅰ）由已知，1221121,1,,3abbbbb得12a，所以数列na是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31nan.（Ⅱ）由（Ⅰ）和11nnnnabbnb得13nnbb，因此nb是首项为1，公比为13的等比数列.记nb的前n项和为nS，则111()313.122313nnnS【考点】等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.1、等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，一般是“知三求二”问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出首项和公比的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n项和等其余量．(2)运用整体思想，达到设而不求的目的；运用等比定理，即q＝a2a1＝a3a2＝…＝anan－1＝a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1达到化简目的；运用分类讨论思想，讨论q＝1和q≠1等问题．2、利用等比数列性质解题应注意的2点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．3、等比数列的判断与证明的常用方法1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an，{an·bn}，anbn也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3.1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知递增等比数列na，10a，2464aa，1534aa，则6a（）A．8B．16C．32D．642．（2021·河南郑州十一中高二期末）已知数列na为等比数列，其前n项和为nS，若2672aaa，36S，则6a（）．A．2或32B．2或64C．2或32D．2或643．（2021·吉林长春市·高三（理））若无穷等比数列{}na的各项均大于1，且满足15144aa，2430aa，则公比q________.4．（2022·全国高三专题练习）已知数列na满足：10a，*12nnaanN，nS为数列na的前n项和，则633SSS___________.1．（2021·赤峰二中（理））在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4=32，a2+a3=12，则下列说法中，正确的是（）①数列{na}是等比数列；②a3=4；③数列{Sn+2}是等比数列；④数列{log2an}是等差数列A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④2．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知公比为q的等比数列na的首项10a，则“1q”是“75aa”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高三（理））已知等比数列{}na中，14a，312a，23a成等差数列．则2018202020172019aaaa=（）A．4或1﹣B．4C．1D．4﹣4．（2021·全国高三专题练习）等比数列na中，1233aaa++=，4566aaa，则na的前12项和为（）A．90B．60C．45D．325．（2022·全国高三专题练习）已知{}na是首项为2的等比数列，nS是其前n项和，且636564SS，则数列2{log}na前20项和为（）A．﹣360B．﹣380C．360D．3806．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知正项的等比数列na中12a，4232aaa，设其公比为q，前n项和为nS，则（）A．2q=B．2nnaC．102047SD．12nnnaaa7．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知公比大于1的等比数列na满足15144aa，2430aa，则公比q等于________.8．（2021·云南曲靖·高三（文））已知正项数列na满足12a且221120nnnnaaaa，令2527nnbna，则数列nb的前7项的和等于___________.9．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））在①32212SSaa，②2432aaa，③114nnaaSS，2n，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列na是公比大于0的等比数列，其前n项和为nS.已知12a，___________.（1）求数列na的通项公式；（2）设212lognnba，11nnnncabb，且数列nc的前n项和为nT，求nT.10．（2021·全国）已知数列na满足2*312232N2222nnaaaannn，若数列nb满足12ba，1118182nnnnbbbb．（Ⅰ）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）记43nnnacnbn，求数列nc的前n项和nS．11．（2021·全国高三）已知数列na的前n项和为nS，满足1nnSa．（1）求数列na的通项公式；（2）记111nnnnabaa，求数列nb的前n项和nT．12．（2021·肥城市教学研究中心高三）已知nS为等比数列na的前n项和，若32a，且1234,3,2aSS是等差数列nb的前三项.（1）求数列na的前n项和nS；（2）求数列nb的通项公式，并求使得nnab的n的取值范围.1．（2021·山东高考真题）在等比数列na中，21a，43a，则6a等于（）A．5B．5C．9D．92．（2020·山东高考真题）在等比数列na中，11a，22a，则9a等于（）A．256B．-256C．512D．-5123．（2021·浙江高考真题）已知,R,0abab，函数2R()fxaxbx.若(),(),()fstfsfst成等比数列，则平面上点,st的轨迹是（）A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线4．（2020·全国高考真题（文））设{}na是等比数列，且1231aaa，234+2aaa，则678aaa（）A．12B．24C．30D．325．（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则nnSa=（）A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–16．（2021·全国高考真题）（多选题）设正整数010112222kkkknaaaa，其中0,1ia，记01knaaa．则（）A．2nnB．231nnC．8543nnD．21nn7．（2013·重庆高考真题（理））已知na是等差数列,11a,公差0d,nS为其前n项和,若1a,2a,5a成等比数列,则8S_____.8．（2021·湖南高考真题）已知各项为正数的等比数列na中，11a，34a.（1）求数列na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列nb的前n项和nS.9．（2021·浙江高考真题）已知数列na的前n项和为nS，194a，且1439nnSS.（1）求数列na的通项；（2）设数列nb满足*3(4)0()nnbnanN，记nb的前n项和为nT，若nnTb对任意Nn恒成立，求实数的取值范围.10．（2020·海南高考真题）已知公比大于1的等比数列{}na满足24320,8aaa．（1）求{}na的通项公式；（2）求112231(1)nnnaaaaaa.1．【答案】D【分析】根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可.【详解】因为递增等比数列na中2464aa，所以1564aa，又1534aa，解得152,32aa，所以45116aqa，解得2q=，所以65264aa，故选：D2．【答案】B【分析】利用等比数列的性质由2672aaa，可求得12a，再由36S可求出q，从而可求出6a的值【详解】∵数列na为等比数列，267172aaaaa，解得12a，设数列的公比为q，236222Sqq，解得2q或1q，当2q，则66264a，当1q，则62a．故选：B．3．【答案】2【分析】根据等比数列的性质可得2415144aaaa，结合已知条件，以及{}na的各项均大于1，即可得2a和4a的值，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为数列{}na是等比数列，所以2415144aaaa，又因为2430aa，解得：24624aa或24246aa，由无穷等比数列{}na的各项均大于1可知1q，所以24624aa，因为242aaq，即2246q，解