【新高考复习】考向40 椭圆-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）(31183

考向40椭圆1．（2021·湖南高考真题）已知椭圆2222:10xyCabab经过点20A，，且离心率为32.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线1yx与椭圆C相交于PQ，两点，求APAQ的值.【答案】（1）2214xy；（2）15.【分析】（1）根据题意得2a，32ca，再结合222abc即可求得答案；（2）联立直线、椭圆方程可得PQ，两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.【详解】（1）椭圆2222:10xyCabab经过点20A，，所以2a，因为离心率为322cca，所以3c，所以222431bac，所以椭圆C的方程为2214xy.（2）由22141xyyx得2580xx-=，解得128,05xx，所以118583155xy，或110011xy，可得83,55P，0,1Q，或者83,55Q，0,1P，所以834312,02,155555APAQ.2．（2021·江苏高考真题）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为63.（1）证明：3ab=；（2）若点93,1010M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ.①求直线l的方程；②求椭圆C的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①330xy；②2213xy.【分析】（1）由21bea可证得结论成立；（2）①设点11,Pxy、22,Qxy，利用点差法可求得直线l的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由OPOQ可得出0OPOQ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b的等式，可求出2b的值，即可得出椭圆C的方程.【详解】（1）222222613ccabbeaaaa，33ba，因此，3ab=；（2）①由（1）知，椭圆C的方程为222213xybb，即22233xyb，当93,1015在椭圆C的内部时，22293331010b，可得3310b.设点11,Pxy、22,Qxy，则121292103210xxyy，所以，121239yyxx，由已知可得22211222223333xybxyb，两式作差得1212121230xxxxyyyy，所以12121212193333yyxxxxyy，所以，直线l方程为3931010yx，即33yx.所以，直线l的方程为330xy；②联立2223331xybyx，消去y可得221018930xxb.222184093120360bb，由韦达定理可得1295xx，2129310bxx，又OPOQ，而11,OPxy，22,OQxy，1212121212123131433OPOQxxyyxxxxxxxx22293271566055bb，解得21b合乎题意，故2233ab，因此，椭圆C的方程为2213xy.1：求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)xyabab或22221(0)yxabab.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,abc的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222cab－）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.2、与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.3、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a，c，代入公式cea.（2）只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，结合222bac－转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.4、直线与椭圆的位置关系的判断：设直线:0lAxByC，椭圆22221xyab，把二者方程联立得到方程组，消去()yx得到一个关于()xy的方程220(0)axbxcaybyc.0方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.1、椭圆的定义：平面上到两定点12,FF的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122FFc.定义式：12122(2)PFPFaaFF.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.2、椭圆的标准方程：焦点在x轴上，22221(0)xyabab；焦点在y轴上，22221(0)yxabab.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,abc之间的大小关系和等量关系：222,0,0acbabac.3、椭圆的图形及其简单几何性质：i)图形焦点在x轴上焦点在y轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221xyab(0)abxayb(,0)a，(0,)b(,0)c对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点01e，cea22221yxab(0)abyaxb(0,)a，(,0)b(0,)c【知识拓展】以椭圆22221(0)xyabab上一点00(),Pxy0(0)y和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的12PFF△中，若12FPF，注意以下公式的灵活运用：（1）12||2PFPFa；（2）222121242||||cos||||cPFPFPFPF－；（3）12121·sin2||||PFFSPFPF△.1．（2021·全国高三模拟预测）已知椭圆E：22221xyab（0ab）的半截距为c，P是E上异于短轴端点的一点，若P点的坐标为2,33ac，则椭圆E的离心率为（）A．1512B．3012C．156D．3062．（2021·梅河口市第五中学高二月考）（多选题）已知椭圆2222:10xyCabab的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆22:344Exy上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若PQPF的最小值为256，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）A．椭圆C的焦距为2B．椭圆C的短轴长为3C．PQPF的最小值为23D．过点F的圆E的切线斜率为4733．（2021·广西南宁·高三模拟预测（理））如图，已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab的焦点，M、N为椭圆上两点，满足12//FMFN，且221::1:2:4FNFMFM，则12FMF的余弦值为_______．4．（2021·广西南宁·高三模拟预测（文））已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足12||ABFF，若令1FAB且,124，则该椭圆离心率的取值范围为___________．1．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,FF，它们的离心率分别为12,ee，P是它们的一个公共点，且1223FPF.若123ee，则2e（）A．6+12B．6+22C．6+32D．6+222．（2021·全国高三开学考试）已知点P是椭圆2216448xy上异于顶点的动点，1F、2F为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是12FPF平分线上的一点，且10FMMP，则OM的取值范围是（）A．0,2B．0,3C．0,4D． 2,233．（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆C的两个焦点分别为11,0F，21,0F，过2F的直线与C交于A，B两点．若222AFFB，132ABAF，则椭圆C的方程为（）A．22165xyB．22154xyC．22143xyD．22132xy4．（2022·全国高三专题练习（理））已知椭圆C：22195xy的左焦点为F，点M在椭圆C上，点N在圆E：2221xy上，则MFMN的最小值为（）A．4B．5C．7D．85．（2021·全国高二课时练习）“方程221axby表示双曲线”是“方程221axby表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2021·全国高三模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系xOy中，1,1A、11,0F、21,0F，动点P满足124PFPF，则（）A．15PAPFB．21PAPFC．有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32D．有且仅有4个点P，使得2PAF△的面积为127．（2021·湖南高三模拟预测）（多选题）已知焦点在x轴上的椭圆过点3,0且离心率为63，则（）A．椭圆的标准方程为22193xyB．椭圆经过点0,23C．椭圆与双曲线223xy的焦点相同D．直线11ykx与椭圆恒有交点8．（2021·江苏南通·高三模拟预测）（多选题）设点F、直线l分别是椭圆2222:10xyCabab的右焦点、右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则2dPF的充分不必要条件有（）A．10,2eB．11,84eC．11,42eD．1,12e9．（2021·上海高三模拟预测）已知椭圆2221xya(0a)的焦点1F、2F，抛物线22ypx的焦点为F，若123FFFF，若22zap恒成立，则z的取值范围为__________；10．（2020·北京高三模拟预测）在直角坐标系xOy中，经过点2,0A，且关于y轴对称的曲线的方程是__________．（填上正确的一个方程即可，不必考虑所有的情形）11．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三月考）已知C：22221xyab的上顶点到右顶点的距离为7，离心率为12，过椭圆左焦点1F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M､N两点，直线m的方程为：2xa，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.（1）求椭圆C的标准方程；（2）①求证线段EN必过定点P，并求定点P的坐标.②点O为坐标原点，求OEN面积的最大值.12．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））已知椭圆C：22221xyab0ab的右焦点为1,0F，点21,2P在C上，c为椭圆C的半焦距．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过F的直线l与C交于A，B（异于P）两点，与直线2axc交于点M，设PA，PB，PM的斜率分别为1k，2k，3k，求证：1232kkk．1．（2020·山东高考真题）已知椭圆的长轴