【新高考复习】考向48 离散型随机变量的分布列、均值与方差（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考

考向48离散型随机变量的分布列、均值与方差1．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）EYEX．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出EY，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，12011PX，1103011111PX，则X的分布列:X2030P1111011所以1103202030111111EX；（2）由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499CCPC，不在同一组的概率为19599P，则49529502530=999999EYEX.2．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100．010.80.2PX；200.810.60.32PX；1000.80.60.48PX．所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，00.2200.321000.4854.4EX．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．010.60.4PY；800.610.80.12PY；1000.80.60.48PX．所以00.4800.121000.4857.6EY．因为54.457.6，所以小明应选择先回答B类问题．1.用定义法求离散型随机变量ξ的分布列及均值、方差的步骤：(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)．2.求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法,求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）.(1)利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝mn求概率.(2)较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率.3.条件概率的求法①利用定义,分别求出P(A),P(AB),得P(B|A)＝P（AB）P（A）；⑵借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),即P(B|A)＝n（AB）n（A）.③为了求一些复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和,利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算,其中B,C互斥.4.高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合条件,求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断．利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策,品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量12，的期望,当12EE时,不应认为它们一定一样好,需要用12,DD来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏离程度.若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.1.随机变量与离散型随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，，等表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取的值为1x，2x，…，ix，…，nx，X取每一个值1,2,,ixin的概率iiPXxp，则称表X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也可用iiPXxp，1,2,,in表示X的分布列.3.离散型随机变量分布列的性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1npi＝1.4.两点分布(0－1分布)随机变量X的分布列为01pX10Pp1－p则称X服从两点分布，并称1pPX为成功概率，两点分布也称01分布.5.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN,k＝0,1,2,…,m,其中m＝min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列.记为X～H(n,M,N).此时有nMEXN.6.二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率PXkCkknknpq(其中0,1,2,,,1knqp)，其随机变量分布列为X01…k…nP00Cnnpq111Cnnpq…Ckknknpq…0Cnnnpq则称X服从二项分布，记为,XBnp.7.条件概率一般地，设A，B为两个事件，且0PA，称PABPBAPA为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.PBA读作A发生的条件下B发生的概率.在古典概型中，若用nA表示事件A中基本事件的个数，则nABPABPBAnAPA.8.相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生不会影响事件B发生的概率，则称,AB相互独立.(2)若A与B相互独立，则PBAPB，PABPAPB.(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立.(4)若PABPAPB，则A，B相互独立.(5)理解事件中常见词语的含义：①A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；②A,B都发生的事件为AB；③A,B都不发生的事件为A－B－；④A,B恰有一个发生的事件为AB－∪A－B；⑤A,B至多一个发生的事件为AB－∪A－B∪A－B－.9.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生、要么不发生,且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若Ai(i＝1,2,…,n)是第i次试验的结果,则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).(2)在n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为(每次试验中事件A发生的概率为p)Cknpk(1－p)n－k,事件A发生的次数是一个随机变量X,其分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n,p).此时有,1EXnpDXnpp.10.离散型随机变量的数学期望（均值）(1)若离散型随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称EX1122iinnxpxpxpxp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且EYaEXb.(3)①若X服从两点分布，则EXp；②若()XBnp～，，则EXnp.11.离散型随机变量的方差(1)若离散型随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称DX＝21niiixEXp为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差.(2))(DaXb2aDX.(3)①若X服从两点分布，则(1)DXpp；②若(),XBnp～，则(1)DXnpp.【知识拓展】1.超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个.超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.2.条件概率具有的性质：①01PBA剟；②如果B和C是两个互斥事件，则PBCAPBAPCA.1．（2021·浙江·模拟预测）随机变量满足分布列如下：012P2aba+ab则随着b的增大（）A．()E增大，()D越来越大B．()E增大，()D先增大后减小C．()E减小，()D先减小后增大D．()E增大，()D先减小后增大2．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量,XY满足21YX，且随机变量X的分布列如下：X012P1613a则随机变量Y的方差DY（）A．59B．209C．43D．2993．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知nN，随机变量X的分布列如图所示，则（）X12…i…nP12(1)n22(1)n…i2(1)n…2(1)nnA．4nB．20.7PXC．2EXD．1DX4．（2021·浙江·模拟预测）已知,mn为正常数，离散型随机变量X的分布列如表：X101Pm14n若随机变量X的数学期望712EX，则mn___________，(0)PX__________.1．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会.1995年正式