【新高考复习】考点09 幂函数与二次函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考

考向09幂函数与二次函数1．（2021·全国高考真题（理））设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【分析】设00,Pxy，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设00,Pxy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．2．（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，23 fxx，则f(-8)的值是____.【答案】4【分析】先求(8)f，再根据奇函数求(8)f【详解】23(8)84f，因为()fx为奇函数，所以(8)(8)4ff故答案为：4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.1、根据图象高低判断幂指数大小的方法幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线1xaa的交点纵坐标的大小反映．一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．2、对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．3、根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点）,4、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝12xy＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)fxaxbxca的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.4.幂函数y=xα的图象与性质①α的正负：当α0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：αα10α1α0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x212yx1yx、12yx5.二次函数的图象与性质函数解析式2()(0)fxaxbxca2()(0)fxaxbxca图象(抛物线)定义域R值域24[,)4acba24(,]4acba对称性函数图象关于直线2bxa对称顶点坐标24(,)24bacbaa奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba上是减函数；在(,]2ba上是增函数；在[,)2ba上是增函数.在[,)2ba上是减函数.最值当2bxa时，2min4()4acbfxa当2bxa时，2max4()4acbfxa【知识拓展】1．幂函数的单调性当α0时幂函数yx在(0,＋∞)上单调递增；(2)当α0时,幂函数yx在(0,＋∞)上单调递减．f(x)0(()0fx).2．幂函数的奇偶性形如y＝mnx或y＝mnx(m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数.3．对一元二次方程根的问题的研究,主要分三个方面：①根的个数问题,由判别式判断；②正负根问题,由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题,依函数与方程思想,通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解4．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1,x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根,则x1,x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．根的分布(m＜n＜p且m,n,p均为常数)图象满足的条件x1＜x2＜m①Δ0，－b2am，f（m）0.m＜x1＜x2②Δ0，－b2am，f（m）0.x1＜m＜x2③f(m)0.m＜x1＜x2＜n④Δ0，m－b2an，f（m）0，f（n）0.m＜x1＜n＜x2＜p⑤f（m）0，f（n）0，f（p）0.mx1＝x2n⑥Δ＝0，m－b2an.只有一根在区间(m,n)内⑦f(m)·f(n)0.1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）（多选题）已知函数22,,,xxaxafxxxaxa(即2fxxxa，xR)则（）A．当0a时，fx是偶函数B．fx在区间1,2上是增函数C．设fx最小值为N，则14ND．方程1fx可能有2个解2．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知函数()()()fxxaxbx，其中01ab，则下列不等式不成立的是（）A．()2abfabB．()fababC．2abfbD．2abfa3．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120xx，则下列函数①()fxx；②2()fxx；③3()fxx；④()fxx；⑤1()fxx满足条件121221()022fxfxxxfxx„的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．1．（2021·云南丽江市·高一期末）函数2()2(1)3fxxmx在区间,4上单调递增，则m的取值范围是（）A．3,B．3,C．,5D．,32．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）若0.70.3a，0.30.7b，0.31.2c，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．bcaD．acb3．（2021·北京人大附中高三其他模拟）设11,,1,2,32则“fxx的图象经过1,1”是“fxx为奇函数”的（）A．充分不必要件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为fx，则fx的图像大致为（）A．B．C．D．5．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数2,fxxaxbabR有两个不同的零点，若2210fxx有四个不同的根1234xxxx，且1234,,,xxxx成等差数列，则ab不可能是（）A．0B．1C．2D．36．（2021·浙江金华市·高三三模）已知实数0,0xy，且1xy，则224xxy的最小值为（）A．85B．2C．512D．5127．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知圆221:20Cxykxy与圆222:20Cxyky的公共弦所在直线恒过点,Pab，且点P在直线20mxny上，则mn的取值范围是（）A．,1B．1,14C．1,4D．1,48．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1ayaxb是幂函数，直线20(0,0)mxnymn过点(,)ab，则11nm的取值范围是（）A．11,,333B．(1,3)C．1,33D．1,339．（2021·山东潍坊市·高三三模）（多选题）已知函数xya（0a且1a）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．10．（2021·上海市控江中学高三三模）幂函数223()mmyxmN在区间(0,)上是减函数，则m__________.11．（2021·上海华师大二附中高三三模）从3个函数：123,yxyx和yx中任取2个，其积函数在区间(,0)内单调递增的概率是___________.12．（2021·上海高三三模）已知函数22xxfx.（1）设112212,,,AxyBxyxx是yfx图象上的两点，直线AB斜率k存在，求证：0k；（2）求函数22224xxgxmfxmR在区间[]0,1上的最大值.1．（2016·浙江高考真题（文））已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数为（）A．2yx-=B．1yxC．2yx=D．13yx3．（2015·四川高考真题（理））如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，上单调递减，则mn的最大值为A．16B．18C．25D．8124．（2015·湖北高考真题（理））设xR，[]x表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[]1t，2[]2t，…，[]ntn同时成立，则正整数n的最大值是A．3B．4C．5D．65．（2019·全国高考真题（理））若ab，则A．ln(a−b)