【新高考复习】专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题(解析版)

专题09三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1．为了得到函数sin(2)5yx的图象．只需把函数sin2yx的图象上所有的点（）A．向左平行移动5个单位长度B．向右平行移动5个单位长度C．向左平行移动10个单位长度D．向右平行移动10个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意x系数对平移情况的影响.【详解】因为sin(2)sin2()510yxx，所以把函数sin2yx的图象上所有的点向左平行移动10个单位长度即可．故选C.2．已知1sincos5，0,，则tan2（）A．12B．13C．2D．3【答案】D【分析】将已知等式两边平方可得12sincos25，进而可得(5sin3)(5sin4)0，解得sin，利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而即可求解tan2的值．【详解】解：因为1sincos5，(0,)，两边平方，可得112sincos25，可得12sincos25，所以112sin(sin)525，即(5sin3)(5sin4)0，所以解得3sin5，（负值舍去），可得4cos5，所以sintan321cos．故选：D．3．设函数2sincoscos2fxxxx，则下列结论错误的是（）A．fx的最大值为21B．fx的一个零点为π8xC．fx的最小正周期为πD．yfx的图象关于直线3π8x对称【答案】B【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.【详解】2π()(sincos)cos21sin2cos212sin24fxxxxxxx，所以()fx的最小正周期为π，()fx的最大值为21，C，A正确；当3π8x时，3ππsin2184，所以()yfx的图象关于直线3π8x对称，D正确；因为π108f，所以π8x不是函数()fx的零点，B错误，故选：B.4．把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（）A．7sin212xB．sin212xC．7sin212xD．sin212x【答案】B【分析】解法一：从函数()yfx的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx，即得2sin34fxx，再利用换元思想求得()yfx的解析表达式；解法二：从函数sin4yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yfx的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx的图象，根据已知得到了函数sin4yx的图象，所以2sin34fxx，令23tx,则,234212ttxx,所以sin212tft,所以sin212xfx；解法二：由已知的函数sin4yx逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy的图象，即为yfx的图象，所以sin212xfx.故选：B.5．将函数3sin6yx的图象向右平移(0)个单位长度后得到()fx的图象.若()fx在5,66上单调递增，则的取值范围为（）A．,32B．,62C．2,33D．232,【答案】B【分析】根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于的不等式组，求解即得.【详解】()3sin6fxx，当566x时，263x，由0，有(,0)，22,333，有2232，得62.故选：B6．已知函数yfx，2,2x的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）A．cossinfxxxB．sincosfxxxC．cossinfxxxD．cos2cosfxxx【答案】A【分析】在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.【详解】取x=0,对于A：0cos0sin0101f；对于B：0sin0cos0011f；对于C：0cos0sin0101f；对于D：0cos0cos0110f，结合图象中f(0)=0,故排除BD.取x=2,对于A：cossin011222f,对于C：cossin011222f,结合图象，可排除C.故选：A.【点睛】本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.7．化简2222tan7.51tan7.57sin7.5cos7.5（）A．33B．233C．3D．2【答案】B【分析】利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.【详解】原式222222222tan7.51sin7.5cos7.5tan7.58sin7.51sin7.58sin7.5cos7.5cos7.52112312sin15cos303．故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦是解决问题的关键.8．已知233sincos3，则sin26（）A．13B．13C．23D．23【答案】A【分析】利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．【详解】因为233sincos3，所以313sincos223，即3sin63，则sin2sin2626，cos2162212sin1633.故选：A9．已知函数()2sin26fxx，现将()yfx的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()ygx的图象，则()gx在50,24的值域为（）A．1,2B．0,1C．0,2D．1,0【答案】A【分析】由函数2sin26fxx，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数2sin43gxx，由x50,24，可得74336x，利用正弦函数的单调性可得结果.【详解】2sin26fxx将函数yfx的图象向左平移12个单位长度，得到2sin22sin21263yxx的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数ygx的图象，2sin43gxx，∵x50,24，所以74336x，∴1sin4123x，∴12sin423x，∴gx在50,24上的值域为1,2，故选：A.10．函数1sin2yx的图像沿x轴向右平移a个单位(0a)，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为（）A．B．34C．2D．4【答案】D【分析】先利用平移变换得到平移后的函数的解析式，根据图象的对称性得到关于a的方程，求得a的所有值，然后取其中的最小正值即得答案.【详解】1sin2yx的图象向右平移a个单位得1sin21sin(22)yxaax的图象，所得图象关于y轴对称，所以22akkZ,24kakZ因此a的最小正值为4，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性，切记每一个变换总是对字母x而言.结合三角函数的图象的对称性，得到：函数sin()()yAxBxR是奇函数π()kkZ；函数sin()()yAxBxR是偶函数ππ+()2kkZ；函数cos()()yAxBxR是奇函数ππ+()2kkZ；函数cos()()yAxBxR是偶函数π()kkZ.11．将函数sincossin1222fxxxx（0）在π2,6π3上单调递减，则的取值范围为（）A．02B．322C．31528D．1528【答案】C【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数fx，进而整体代入法得出函数的单调递减区间，利用子集关系列出不等式组，求解可得的取值范围．【详解】11cos21sin1sin24π222fxxxx．fx在π2,6π3上单调递减，依题意有πππ26422ππ3π2π342kk∴31221538kk，0,1,2,3,k，且2π12π2π36，∴02当0k时满足题意，∴31528，故选：C12．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝16，tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，则α，β的大小关系是（）A．α4βB．β4αC．4αβD．4βα【答案】B【分析】由两角和与差的正切公式得出α＋β＝3，结合sincos0，得出α4，结合选项可得答案．【详解】∵α为锐角，sinα－cosα＝16，∴α4．又tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，∴tan(α＋β)＝tantan31tantan，∴α＋β＝3，又α4，∴β4α．故选：B13．函数()2sin()(0,0)fxx的部分图象如图所示，要得到()yfx的图象，只需将2cosyx的图象（）A．向右平移6个单位长度B．向右平移12个单位长度C．向左平移6个单位长度D．向左平移12个单位长度【答案】D【分析】由周期求得ω，再结合最高点求得φ，得到函数的解析式，进而做出判定.【详解】由图可知，5212122T，所以T，即2，所以2．所以()2sin(2)fxx，又22,,0122kkZ，所以23，所以22sin23fxx，2cos22sin22yxx,将其图象向左平移12个单位长度即可得到()yfx的图象．故选：D14．已0,4，且14sincos,4则22cos1