【新高考复习】专题19 立体几何综合小题必刷100题(解析版)

专题19立体几何综合小题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A．423B．42C．433D．43【答案】A【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积．【详解】正四棱锥的底面积为224，正四棱锥的高为22222因此，该正四棱锥的体积为1422433．故选：A．2．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//mn，n，则//mB．若//m，n，则//mnC．若m，n，//mn，则//D．若//，m，则//m【答案】D【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解【详解】选项A：有可能出现m的情况；选项B：m和n有可能异面；选项C：和有可能相交；选项D：由//，m，得直线m和平面没有公共点，所以//m，故选：D3．如图，空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且2OMMA，N为BC的中点，MNxOAyOBzOC，则x，y，z的值分别为（）A．12，23，12B．23，12，12C．12，12，23D．23，23，12【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MNONOMOBOCOA，211322abc，所以23x，12y，12z.故选：B.4．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（）A．若//m，//m，则//B．若//m，//n，则//mnC．若m，n，则//mnD．若，，则//【答案】C【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.【详解】对于选项A：若//m，//m，则与平行或相交，故选项A不正确；对于选项B：若//m，//n，则m与n可平行、异面、或相交，故选项B不正确；对于选项C：若m，n，则//mn，垂直于同一平面的两个直线平行，故选项C正确；对于选项D：若，，则与平行或相交，故选项D不正确.故选：C5．已知四棱锥PABCD的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm）是（）A．83B．433C．423D．43【答案】B【分析】根据四棱锥PABCD是正四棱锥求解.【详解】如图所示：由题意知：四棱锥PABCD是正四棱锥，因为四棱锥PABCD的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角形，所以2,2PEBC，则正四棱锥的高为：223POPEEO，又因为俯视图为正方形，所以14322333PABCDV，故选：B6．在正方体1111ABCDABCD中，则直线1AD与直线AC所成角大小为（）A．30B．45C．60D．90【答案】C【分析】设正方体的棱长为a，连接11AC，证明11//ACAC可得11DAC或其补角即为直线1AD与直线AC所成角，在11DAC△中求11DAC即可求解.【详解】设正方体1111ABCDABCD的棱长为a，连接11AC，因为11//AACC且11=AACC，所以四边形11AACC是平行四边形，可得11//ACAC，所以11DAC或其补角即为直线1AD与直线AC所成角，在11DAC△中，11112DAACDCa，所以1160DAC，所以直线1AD与直线AC所成角大小为60，故选：C.7．正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P为侧面11ABBA内动点，且满足16PD，则△PBC面积的最小值为（）A．1B．2C．2D．22【答案】B【分析】建立空间直角坐标系如图所示，设2,,Pyz由16PD，得出点P的轨迹方程，由几何性质求得minPB，再根据垂直关系求出△PBC面积的最小值．【详解】以点D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示：则10,0,2D，2,2,0B，设2,,Pyz所以221426PDyz，得2222yz，所以22min200222PB因为BC平面11ABBA，所以BCPB故△PBC面积的最小值为min122SBCPB故选：B8．在直三棱柱111ABCABC中，90ACB.1D、1E分别是11AB、11AC的中点，1CACBCC，则1AE与1BD所成角的余弦值为（）A．1515B．3015C．1510D．3010【答案】D【分析】以C为坐标原点，以CB、CA、1CC方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，如图，设11BCBACC，分别求出11BDAE、的坐标，根据空间向量的数量积求出11cosBDAE，即可.【详解】以C为坐标原点，以CB、CA、1CC方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，如图，设11BCACCC，111111111,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,,,1,0,0,1,0,,1,222BBAADCE则11111(1)(01)222BDAE，，，，，，所以11111130cos10BDAEBDAEBDAE，，故选：D9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则以下结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BDD．异面直线AD与CB1所成的角为45°【答案】B【分析】利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即可.【详解】解：A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1；BD⊄平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正确；B，；AD∥A1D1，且11AD⊥平面11DCCD，所以AD⊥平面11DCCD，又平面11DCCD与平面CB1D1不平行，所以AD与平面CB1D1不平行，；B不正确；C，AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正确；D，根据正方体的性质可得//ADBC所以异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角,由145BCB，所以异面直线AD与CB1所成的角为45°；D正确故选：B.10．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且//ab，则实数m的值等于（）A．32B．－2C．0D．32或－2【答案】B【分析】利用空间向量平行的坐标表示，即可求得结果.【详解】当m＝0时，a=(1，3，－1)，b＝(2，0，0)，a与b不平行，∴m≠0，∵//ab，∴21312mmmm，解得m＝－2.故选：B11．正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直【答案】A【分析】连接111,,BDCDCD与1CD交于点F，易得11ABCD是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线1AB与直线EF的位置关系.【详解】如图所示，连接111,,BDCDCD与1CD交于点F，由题意，易得四边形11ABCD是平行四边形，在平行四边形11ABCD中，E，F分别是线段1,BCCD的中点，∴1//EFBD，又11ABBDB且1,,,ABEF共面，则直线1AB与直线EF相交.故选：A.12．已知直三棱柱111ABCABC中，60ABC，2AB，11BCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A．32B．0C．105D．33【答案】B【分析】先用余弦定理求出3AC，再由勾股定理可证BCAC，可所以1,,CACBCC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，求出各点坐标以及1AB、1BC的坐标，利用空间向量夹角公式计算11,cosABBC即可求解.【详解】因为直三棱柱111ABCABC中，60ABC，2AB，1BC，在ABC中，由余弦定理可得：22212cos604122132ACABBCABBC，所以3AC，所以222BCACAB，所以BCAC，进而可得1,,CACBCC两两垂直，所以以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系，则0,3,0A，1,0,0B，11,0,1B，10,0,1C，11,3,1AB，11,0,1BC，所以111111101cos052,ABBCABBCABBC，设异面直线1AB与1BC所成角的平面角为，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：11coscos,0ABBC，故选：B.13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（）A．103cmB．10cmC．102cmD．30cm【答案】B【分析】判断出球心的位置，由此计算出球的半径.【详解】依题意可知该四棱锥是正四棱锥，且OS平面ABCD，则OSOA.2211202010222OAOBOCODAC，222220102102OSASOA，所以102OAOBOCODOS，O到,,,ABBCCDAD的距离都是1102AB，在等腰直角三角形OAS中，O到SA的距离为1102SA，同理可得O到,,SBSCSD的距离也是10.所以O是皮球的球心，且皮球的半径为10cm.故选：B14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】C【分析】由题设，若四面体PABC为“鳖臑”，应用线面、面面垂直的判定、性质只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鳖臑”，即可保证直角三角形最多，进而确定个数即可.【详解】为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体PABC为“鳖臑”，其中PA⊥面ABC，BC面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，ABPA=A，∴CB⊥面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC：由CB⊥面PAB，BC面PBC，则面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，则AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，∴四面体PAEF也是“鳖臑”，则10个三角形全是直角三角形，故选：C.15．在四棱锥PABCD中，底面是边长为4的正方形，且2,25PAPBPD，则四棱锥外接球的表面积为（）A．4B．8C．36D．144【答案】C【分析】利用勾股定理判断PA平面ABCD，过正方形ABCD的中心O作垂线，再过PA中点作此垂线的垂线，交点O即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.【详解】由题意可知222PAABPB，222PAADPD，所以PAAB，PAAD，又ABADA，所以PA平面ABCD，过正方形ABCD的中心O作垂线，再过PA中点作此垂线的垂线，交点为O，此点即为外接球的球心，则外接球半径R221223OA，所以四棱锥外接球的表面积2436SR.故选：C二、多选题16．给出下列命题，其中正确的有（）A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量//abrr，则a、b与任何向量都不能构成空间的一组基底C．已知空间向量(1,0,1)a，(2,1,2)b，则//abrrD．已知空间向量(1,0,1)a，(2,1,2)b，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是848,,999【答案】BD【分析】对选项A，B，根据空间向量基底概念即可判断A错误，B正确