【新高考复习】专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题(解析版)

专题29圆锥曲线求定值七种类型大题100题类型一:斜率的和与积为定值1-22题1．已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点M（﹣2，﹣1），离心率为22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．(1)求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）22163xy（2）见解析【详解】(1)由题设，得2241ab＝1，①且22aba＝22，②由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为2263xy＋＝1.(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝2288412kkk＋，即x1＝2244212kkk＋＋.设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝2244212kkk＋＋.因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝2121212121212282)2412812kyykxkxkxxkkxxxxxxk－（＋（＋）（＋＋）＋＝＝＝－－－＋＝1，因此直线PQ的斜率为定值．2．已知点1,2A是椭圆22221(0)yxabab上的一点，椭圆C的离心率与双曲线221xy的离心率互为倒数，斜率为2直线l交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合.（1）求椭圆C的方程；（2）若1k，2k，分别为直线AB，AD的斜率，求证：12kk为定值.【答案】（1）22142yx；（2）证明见解析.【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率22cea，再由点1,2A代入椭圆方程，根据222abc，即可求出,,abc，从而可得椭圆方程；（2）设直线BD的方程为2yxm，根据题意得0m，设11,Bxy，22,Dxy，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算12kk，即可得出结果.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程221xy易得双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率22cea，将1,2A代入22221yxab，得22211ab，又222abc，解得22abc，所以椭圆C的方程22142yx；（2）证明：设直线BD的方程为2yxm，又A，B，D三点不重合，∴0m，设11,Bxy，22,Dxy，则由222142yxmyx消去y，整理得2242240xmxm，所以1222xxm，21244mxx，28640m，则2222m，设直线AB，AD的斜率分别为1k，2k，则12121212122222221111yyxmxmkkxxxx2212221212224222222222222220142221424mmmmmxxxxxxmmmm所以120kk，即直线AB，AD的斜率之和为定值.3．已知椭圆C：22221xyab(0ab)的左右焦点分别为12,FF，焦距为2，且经过点Q212，.直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M.（1）点P在椭圆C上，求12PFPF的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；【答案】（1）[0,1]；（2）证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义求得2a，然后可得b，从而得椭圆方程，然后设点,Pxy，计算12PFPF可得范围；（2）设直线l的方程为1ykx(0k)代入椭圆方程得2222214220kxkxk，设11,Axy，22,Bxy，可得段线AB的中点M的坐标122Mxxx，然后计算OMlkk可得定值．【详解】解：（1）因为焦距22c，则1c，所以左焦点11,0F，右焦点21,0F则222212222[1(1)](0)(11)](0)2222aQFQF所以2a，所以222,1ab，所以椭圆方程为2212xy.设点,Pxy，则2222212=(1,)1,11122xxPFPFxyxyxyx因为[2,2]x，所以12PFPF的取值范围为：[0,1]（2）设直线l的方程为1ykx(0k)联立221210xyykxk消去y得2222214220kxkxk其中：2210k，0，不妨设11,Axy，22,Bxy，M为线段AB的中点则2122421kxxk+=+，所以21222221Mxxkxk，2121MMkykxk所以12MOMMykxk所以1122OMlkkkk为定值.4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43（1）求椭圆C的标准方程（2）直线2x与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为12①求四边形APBQ的面积的最大值②设直线PA的斜率为1k，直线PB的斜率为2k，判断12kk的值是否为常数，并说明理由.【答案】（1）2211612xy；（2）①123，②是常数，理由见解析．【分析】（1）设椭圆C的方程为222210xyabab，由题可得1243,2cba，再结合222abc，即可求得,ab,从而求得椭圆C的标准方程；（2）①设点11,Axy、22,Bxy，联立221211612yxtxy，整理得：22120xtxt，四边形APBQ的面1212SPQxx，而PQ易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，从而求得S的最大值；②直线PA的斜率11132ykx，直线PB的斜率22232ykx，代入韦达定理化简整理可得12kk的值为常数0．【详解】（1）设椭圆C的方程为222210xyabab．由题意可得22224312bcaabc，解得4232abc，所以椭圆C的标准方程为2211612xy；（2）①由（1）可求得点P、Q的坐标为2,3P，2,3Q，则6PQ，设直线AB的方程为12yxt，设点11,Axy、22,Bxy，联立221211612yxtxy，整理得：22120xtxt，由2224124830ttt，可得44t.由韦达定理知：12xxt，21212xxt，四边形APBQ的面积221212121211634348322SPQxxxxxxxxt，故当0t时，max123S；②由题意知，直线PA的斜率11132ykx，直线PB的斜率22232ykx，则1212121212113333222222xtxtyykkxxxx12121212121211222224222211222224xtxttxxttxxxxxxxx222242811110122428tttttttt.所以12kk的值为常数0．5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，且经过点4,1M，直线:lyxm交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，试问直线MA，MB的斜率之和是否为定值，若是定值求出定值，若不是定值说明理由．【答案】（1）221205xy；（2）55m；（3）直线MA，MB的斜率之和是定值0.【分析】（1）由题可得出224ab，221611ab，解出,ab即可得出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用0即可求出m的取值范围；（3）利用韦达定理可得MA，MB的斜率之和为0.【详解】（1）设椭圆的方程为22221xyab，因为32e，所以224ab，又因为221611ab，解得25b，220a，故椭圆方程为221205xy．（2）将yxm代入221205xy并整理得22584200xmxm，228204200mm，解得55m．（3）设直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，设1122,,AxyBxy，则1285mxx，2124205mxx，1221121212121414114444yxyxyykkxxxx，分子12211414xmxxmx21212242085258181055mmmxxmxxmm所以直线MA，MB的斜率之和是定值0．6．如图所示，椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，其右准线方程为4x，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为1k、2 k，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点1  F，求证：12kk为定值.【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得21,42caac，求出,ca，再利用222abc，即可求出椭圆C的方程；（2）设AM的方程为12ykx，联立22143xy，利用韦达定理求得点21122118612,3434kkMkk，同理求出22222228612,3434kkNkk，再利用向量共线11  //?MFNFuuuuruuuur，求出1230kk，即证12kk为定值.【详解】（1）由题可得21,42caac，解得1,2ca又222abc，可得23b，所以椭圆C的方程为：22143xy（2）2,0A，设AM的方程为12ykx，设11,Mxy，由1222143ykxxy，消去y整理得2222111(34)1616120kxkxk，0，由韦达定理可得：2112121121162341612234kxkkxk，解得211218634kxk，代入12ykx，求得11211234kyk，即21122118612,3434kkMkk2,0B，设BN的方程为22ykx，设22,Nxy，由2222143ykxxy，消去y整理得2222222(34)1616120kxkxk，0，由韦达定理可得：2222222222162341612234kxkkxk，解得222228634kxk，代入22ykx，求得22221234kyk，即22222228612,3434kkNkk又直线MN恒过椭圆的左焦点1  F，则11  //?MFNFuuuuruuuur又211122114912  ,3434kkMFkkuuuur，2221222212312 ,3434kkNFkkuuuur2212122222121249121212334343434kkkkkkkk，即12124330kk