【新高考复习】第6讲　双曲线

第6讲双曲线一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±12xB.y＝±22xC.y＝±2xD.y＝±2x解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c2－b2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±22x，故选B.答案B2.(2015·广东卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－y24＝1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝ca＝54，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为x216－y29＝1，故选C.答案C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为()A.53B.355C.63D.62解析∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝bax的距离为2，即|bc|a2＋b2＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴bcc＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝c2－b2＝5，∴离心率e＝ca＝35＝355.答案B4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45解析由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34.答案C5.(2017·成都调研)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.433B.23C.6D.43解析由题意知，双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.答案D二、填空题6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27－y23＝1的焦距是________.解析由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.答案2107.(2016·北京卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝22，又∠AOB＝π4，∴ba＝tanπ4＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案28.(2016·山东卷)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.解析由已知得|AB|＝2b2a，|BC|＝2c，∴2×2b2a＝3×2c.又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2ca2－3ca－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).答案2三、解答题9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0.(1)解∵e＝2，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.法二由(1)可知，a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，MF1→＝(－23－3，－m)，MF2→＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，∵点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1→·MF2→＝0.10.已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1－3k2≠0，Δ＝（－62k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）＞0，∴k2≠13且k2＜1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.又∵OA→·OB→＞2，得x1x2＋y1y2＞2，∴3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解得13＜k2＜3.②由①②得13＜k2＜1，故k的取值范围为－1，－33∪33，1.11.过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝bax，因此可得点A的坐标为(a，b).设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝c2＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.答案A12.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是()A.1，52B.1，72C.52，＋∞D.72，＋∞解析由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋a24＝54a2，∴e＝ca≥52.答案C13.(2016·浙江卷)设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足（m＋2）2＜m2＋42，42＜（m＋2）2＋m2，解得－1＋7＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴27＜2m＋2＜8.答案(27，8)14.已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB→，求△AOB的面积.解(1)依题意得ab＝2，|2×0＋a|5＝255，解得a＝2，b＝1，故双曲线的方程为y24－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，由AP→＝PB→得点P的坐标为m－n2，m＋n.将点P的坐标代入y24－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，∵tanπ2－θ＝2，则tanθ＝12，从而sin2θ＝45.又|OA|＝5m，|OB|＝5n，∴S△AOB＝12|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.