【新高考复习】第8讲　函数与方程、函数的应用

第8讲函数与方程、函数的应用一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析由于f(－1)＝－230，f(0)＝30－0＝10，∴f(－1)·f(0)0.则f(x)在(－1，0)内有零点.答案D2.已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B.－2，0C.12D.0解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D3.函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)0，所以(－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，所以0a3.答案C4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有a4L，则m的值为()A.5B.8C.9D.10解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a，可得n＝15ln12，∴f(t)＝a·12t5，因此，当kmin后甲桶中的水只有a4L时，f(k)＝a·12k5＝14a，即12k5＝14，∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.答案A5.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.14B.18C.－78D.－38解析令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案C二、填空题6.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.解析∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.由此可得2a＋b＝－3，①a2＋2ab＝0，②a3＋3a2＝a2b.③∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.答案－217.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771).解析设过滤n次才能达到市场要求，则2%1－13n≤0.1%，即23n≤120，所以nlg23≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.答案88.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.解析函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－12.答案－12三、解答题9.已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，求实数a的取值范围.解(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，只需f（－1）0，f（0）0，f120，即3－4a0，1－2a0，34－a0，解得12a34.故实数a的取值范围为a12a34.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3Q10(其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故有a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位.11.已知函数f(x)＝0，x≤0，ex，x0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A.[0，1)B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝x，x≤0，ex＋x，x0的大致图象(图略).观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点.答案D12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，消去c化简得7a＋b＝0.1，9a＋b＝－0.3，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－152t＋22516＋4516－2＝－15t－1542＋1316，所以当t＝154＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案B13.(2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.解析由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.答案(0，2)14.设函数f(x)＝1－1x(x0).(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)＝f(b)时，求1a＋1b的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围.解(1)如图所示.(2)∵f(x)＝1－1x＝1x－1，x∈（0，1]，1－1x，x∈（1，＋∞），故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数.由0ab且f(a)＝f(b)，得0a1b，且1a－1＝1－1b，∴1a＋1b＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根.