【新高考复习】第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD中，AD→＝(2，8)，AB→＝(－3，4)，则AC→＝()A.(－1，－12)B.(－1，12)C.(1，－12)D.(1，12)解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→＝(－1，12)，故选B.答案B3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.答案A4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A.e1＋e2B.－2e1＋e2C.2e1－e2D.2e1＋e2解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)，＝(x－y，y)，则x－y＝－3，y＝1，解得x＝－2，y＝1，故a＝－2e1＋e2.答案B5.已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A.－23B.43C.12D.13解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.答案A6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s等于()A.23B.43C.－3D.0解析因为CD→＝2DB→，所以CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)＝23AB→－23AC→，则r＋s＝23＋－23＝0，故选D.答案D7.在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC→等于()A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)解析AQ→＝PQ→－PA→＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，∴AC→＝2AQ→＝(－6，4)，PC→＝PA→＋AC→＝(－2，7)，∵BP→＝2PC→，∴BC→＝3PC→＝(－6，21).答案B8.(2017·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→＝2AE→，则向量EM→＝()A.12AC→＋13AB→B.12AC→＋16AB→C.16AC→＋12AB→D.16AC→＋32AB→解析如图，∵EC→＝2AE→，∴EM→＝EC→＋CM→＝23AC→＋12CB→＝23AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→＋16AC→.答案C二、填空题9.(2017·广州综测)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.解析因为(x，1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以x＋2＝1，y＋1＝－1，解得x＝－1，y＝－2，所以x＋y＝－3.答案－310.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值为________.解析AB→＝(a－2，－2)，AC→＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以1a＋1b＝12.答案1211.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.解析因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝12.答案1212.在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝________(用e1，e2)表示.解析如图，MN→＝CN→－CM→＝CN→＋2BM→＝CN→＋23BC→＝－14AC→＋23(AC→－AB→)＝－14e2＋23(e2－e1)＝－23e1＋512e2.答案－23e1＋512e213.(2017·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A.x＝23，y＝13B.x＝13，y＝23C.x＝14，y＝34D.x＝34，y＝14解析由题意知OP→＝OB→＋BP→，又BP→＝2PA→，所以OP→＝OB→＋23BA→＝OB→＋23(OA→－OB→)＝23OA→＋13OB→，所以x＝23，y＝13.答案A14.已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且OC→与OA→的夹角为30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn的值为()A.2B.52C.3D.4解析∵OA→·OB→＝0，∴OA→⊥OB→，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB→＝(0，3)，OC→＝mOA→＋nOB→＝(m，3n).∵tan30°＝3nm＝33，∴m＝3n，即mn＝3，故选C.答案C15.已知点A(－1，2)，B(2，8)，AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，则CD→的坐标为________.解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由题意得AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3，6)，DA→＝(－1－x2，2－y2)，BA→＝(－3，－6).因为AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，所以有x1＋1＝1，y1－2＝2和－1－x2＝1，2－y2＝2.解得x1＝0，y1＝4和x2＝－2，y2＝0.所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD→＝(－2，－4).答案(－2，－4)16.(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是________.解析建立平面直角坐标系如图所示，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－3，y＝2y0，代入圆的方程得x0－322＋y0－322＝14，所以点M的轨迹方程为x－322＋y－322＝14，它表示以32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM→|max＝32＋32＋32－02＋12＝72，所以|BM→|2max＝494.答案494