【新高考复习】第1讲　数列的概念及简单表示法

第1讲数列的概念及简单表示法一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.（－1）n＋12B.cosnπ2C.cosn＋12πD.cosn＋22π解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D2.数列23，－45，67，－89，…的第10项是()A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·2n2n＋1，故a10＝－2021.答案C3.(2017·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝()A.2n－1B.2n－1＋1C.2n－1D.2(n－1)解析法一由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.法二由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.答案A4.数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于()A.2n－1B.n2C.（n＋1）2n2D.n2（n－1）2解析设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2（n－1）2.答案D5.数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A.7B.6C.5D.4解析依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D二、填空题6.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋1an，a8＝3421，则a5＝________.解析借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝2113，a6＝138，a5＝85.答案857.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝4，n＝1，2n＋1，n≥2.答案4，n＝1，2n＋1，n≥28.(2017·北京海淀期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________.解析因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.答案1三、解答题9.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍).∴从第7项起各项都是正数.10.已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式.解(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，……an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝n（n＋1）2.显然，当n＝1时也满足上式.综上可知，{an}的通项公式an＝n（n＋1）2.11.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.163B.133C.4D.0解析∵an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.答案D12.(2017·石家庄质检)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2016的值为________.解析由题意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴数列{an}是周期为6的周期数列，而2016＝6×336，∴a2016＝a6＝－1.答案－113.(2017·太原模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________.解析由an－an＋1＝nanan＋1得1an＋1－1an＝n，则由累加法得1an－1a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝n2－n2，又因为a1＝1，所以1an＝n2－n2＋1＝n2－n＋22，所以an＝2n2－n＋2.答案2n2－n＋214.(2017·开封模拟)已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.解(1)∵an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋12n－9(n∈N*).结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7…＞an1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋1a＋2（n－1）＝1＋12n－2－a2，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，可知52－a26，即－10a－8.即a的取值范围是(－10，－8).