【新高考复习】第3讲　等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n项和一、选择题1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么()A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列.答案C2.(2017·华师附中调研)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝()A.1B.±1C.2D.±2解析由a2a3a4＝a33＝8，得a3＝2，所以a7＝a3·q4＝2q4＝8，则q2＝2，因此a1＝a3q2＝1.答案A3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂()A.55986B.46656C.216D.36解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46656只蜜蜂，故选B.答案B4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A.21B.42C.63D.84解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案B5.(2017·石家庄质检)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20).即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.故选A.答案A二、填空题6.(2017·肇庆模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________.解析两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得a4a3＝3.即q＝3.答案37.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案48.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以a1（1－q4）1－q＝3a1（1－q2）1－q，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.答案8三、解答题9.在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，依题意得a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3.因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝n（b1＋bn）2＝n2－n2.10.(2017·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列.解(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1（1－qn）1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q，q≠1.(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾.故数列{an＋1}不是等比数列.11.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A.12B.13C.14D.15解析设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.答案C12.(2017·临沂模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A.(3n－1)2B.12(9n－1)C.9n－1D.14(3n－1)解析∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列.因此a21＋a22＋…＋a2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案B13.(2017·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________.解析当q0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2a1a3＝1＋2a22＝3，当且仅当a1＝a3＝1时等号成立.当q0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2a1a3＝1－2a22＝－1，当且仅当a1＝a3＝－1时等号成立.所以，S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).答案(－∞，－1]∪[3，＋∞)14.(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列1an的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜11000成立的n的最小值.解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得1an＝12n，所以Tn＝12＋122＋…＋12n＝121－12n1－12＝1－12n.由|Tn－1|＜11000，得1－12n－1＜11000，即2n＞1000，因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，于是，使|Tn－1|＜11000成立的n的最小值为10.