【新高考复习】第2讲　古典概型

第2讲古典概型一、选择题1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23B.12C.13D.16解析从A，B中任意取一个数，共有C12·C13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝26＝13.答案C2.(2017·黄山一模)从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.310B.15C.12D.35解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C35＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝3C35＝310.答案A3.(2017·马鞍山一模)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()A.112B.19C.536D.16解析落在2x－y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P＝36×6＝112.答案A4.(2017·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A.16B.524C.13D.724解析选出一个三位数有A34＝24种情况，取出一个凹数有C34×2＝8种情况，所以，所求概率为P＝824＝13.答案C5.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()a11a12a13a21a22a23a31a32a33A.37B.47C.114D.1314解析从九个数中任取三个数的不同取法共有C39＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C13·C12·C11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314.答案D二、填空题6.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案567.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C24，乙同学的选法种数为C24，则两同学的选法种数为C24·C24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P＝C24C24C24＝16.答案168.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解析从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，基本事件共有C710＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，若事件A发生，则6，7，8，9必取，再从0，1，2，3，4，5中任取3个数，有C36种选法.故所求概率P(A)＝C36120＝16.答案16三、解答题9.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为C23＋C22＝4，所以P(D)＝415.故这2件商品来自相同地区的概率为415.10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解(1)由题意，(a，b，c)所有的可能的结果有33＝27(种).设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种.所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A.p1＜p2＜p3B.p2＜p1＜p3C.p1＜p3＜p2D.p3＜p1＜p2解析随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝12.故p1p3p2.答案C12.(2017·西安调研)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115B.15C.14D.12解析由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种.故所求事件的概率P＝4·A33C36A33＝15.答案B13.(2017·河南省八市重点高中质检)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.解析要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝16(a2－b2)0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即ab，从a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}分别取1个a和1个b，有3×3＝9(种)，其中满足ab的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.答案2314.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C2n，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝C2nC27＝17，则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球.(2)设事件A为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P(A)＝C14×C13C17×C16＝4×37×6＝27.(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.