【新高考复习】第1讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.答案C2.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边所在象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角.答案B3.(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝35，则m等于()A.－3B.3C.163D.±3解析sinθ＝m16＋m2＝35，解得m＝3.答案B4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.(－12，32)B.(－32，－12)C.(－12，－32)D.(－32，12)解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.答案A5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.则实数a的取值范围是()A.(－2，3]B.(－2，3)C.[－2，3)D.[－2，3]解析∵cosα≤0，sinα0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.答案A6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为()A.π3B.π2C.3D.2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，∴α＝3.答案C7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.答案A8.(2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A.－45B.－35C.35D.45解析由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝15，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.答案B二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，所以，所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z).答案2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)10.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.解析由已知P(cosα，sinα)，则Q(－cosα，－sinα).答案(－cosα，－sinα)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.解析设扇形半径为r，弧长为l，则lr＝π6，12lr＝π3，解得l＝π3，r＝2.答案π312.(2017·九江模拟)若390°角的终边上有一点P(a，3)，则a的值是________.解析tan390°＝3a，又tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.∴3a＝33，∴a＝33.答案3313.已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动π2弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝()A.－1B.1C.－2D.2解析圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON为终边的角为αα＝2kπ＋π4，k∈Z，故tanα＝1.答案B14.(2016·郑州一模)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα等于()A.43B.34C.－34D.－43解析因为α是第二象限角，所以cosα＝15x0，即x0.又cosα＝15x＝xx2＋16，解得x＝－3，所以tanα＝4x＝－43.答案D15.函数y＝2sinx－1的定义域为________.解析∵2sinx－1≥0，∴sinx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z).答案2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________.解析如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,Q为垂足.根据题意得劣弧DP︵＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－π2，|CQ|＝cos2－π2＝sin2，|PQ|＝sin2－π2＝－cos2，所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为(2－sin2，1－cos2)，故OP→＝(2－sin2，1－cos2).答案(2－sin2，1－cos2)