【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.3 第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时简单的三角恒等变换1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.2．常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2α2,1＋cosα＝2cos2α2.(升幂公式)(2)1±sinα＝sinα2±cosα22.(升幂公式)(3)sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2，tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.(降幂公式)(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.(辅助角公式)微思考1．思考三角恒等变换的基本技巧．提示(1)变换函数名称：使用诱导公式．(2)升幂、降幂：使用倍角公式．(3)常数代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.(4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？提示异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin2α0.(×)(2)∀α∈R,1＋sinα＝sinα2＋cosα22.(√)(3)∀α∈R,2cos2α＋cos2α－1＝0.(×)(4)∃α∈R，tan2α＝2tanα.(√)题组二教材改编2．sin15°cos15°等于()A．－14B.14C．－12D.12答案B解析sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3．已知sinα－cosα＝15，0≤α≤π，则cos2α等于()A．－2425B.2425C．－725D.725答案C解析∵sinα－cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1,0≤α≤π，∴sinα＝45，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2452＝－725.4．已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝.答案16解析方法一cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.方法二cosα＋π4＝22cosα－22sinα，所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)2＝12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.题组三易错自纠5．计算：4tanπ123tan2π12－3等于()A.233B．－233C.239D．－239答案D解析原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.6．(2020·泸州模拟)若tanα＝12，则cos2α等于()A．－45B．－35C.45D.35答案D解析∵tanα＝12，∴cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－141＋14＝35.题型一三角函数式的化简1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα等于()A.53B.23C.13D.59答案A解析由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sinα0，所以sinα＝1－cos2α＝1－－232＝53.2．(2020·江苏改编)已知sin2π4＋α＝23，则sin2α的值是()A．－13B.13C．－23D.23答案B解析∵sin2π4＋α＝23，∴1－cosπ2＋2α2＝23，即1＋sin2α2＝23，∴sin2α＝13.3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα等于()A.15B.55C.33D.255答案B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.4．21＋sin4＋2＋2cos4等于()A．2cos2B．2sin2C．4sin2＋2cos2D．2sin2＋4cos2答案B解析21＋sin4＋2＋2cos4＝2sin22＋2sin2cos2＋cos22＋2＋22cos22－1＝2sin2＋cos22＋4cos22＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵π22π，∴cos20，∵sin2＋cos2＝2sin2＋π4，02＋π4π，∴sin2＋cos20，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．题型二三角函数的求值命题点1给角求值例1(1)cos20°·cos40°·cos100°＝.答案－18解析cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.(2)cos40°cos25°1－sin40°的值为()A．1B.3C.2D．2答案C解析原式＝cos220°－sin220°cos25°cos20°－sin20°＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.命题点2给值求值例2(1)已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝.答案4－3310解析由题意可得cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝110，cos2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ＋π4＝10100，θ∈0，π2，所以0θπ4，2θ∈0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.(2)若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＋2cos2α的值为．答案0解析∵tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，∴tanα＝3或tanα＝13(舍)，则sin2α＋π4＋2cos2α，＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＋2·1＋cos2α2＝22sin2α＋2cos2α＋22＝22(2sinαcosα)＋2(cos2α－sin2α)＋22＝22·2sinαcosαsin2α＋cos2α＋2·cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＋22＝22·2tanαtan2α＋1＋2·1－tan2αtan2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.命题点3给值求角例3已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝，2α－β＝.答案17π3解析因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以02απ.又cos2α0，所以02απ2，又β为锐角，所以－π22α－βπ2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．跟踪训练1(1)cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.62B.32C.54D．1＋34答案C解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.(2)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝.答案268解析∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈0，π2，sinα＋cosα0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝24cosα＝268.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为．答案－3π4解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.题型三三角恒等变换的综合应用例4已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且fα4－π8＝22，求tanα＋π3的值．解(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝π2.令2kπ＋π2≤4x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ2＋π16≤x≤kπ2＋5π16，k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为kπ2＋π16，kπ2＋5π16，k∈Z.(2)因为fα4－π8＝22，所以sinα－π4＝1.又α∈(0，π)，所以－π4α－π43π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4，因此tanα＋π3＝tan3π4＋tanπ31－tan3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－3.思维升华三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．跟踪训练2已知函数f(x)＝24sinπ4－x＋64·cosπ4－x.(1)求函数f(x)在区间π4，3π2上的最值；(2)若cosθ＝45，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3的值．解(1)由题意得f(x)＝24·sinπ4－x＋64cosπ4－x＝22×12sinπ4－x＋32cosπ4－x＝－22·sinx－7π12.因为x∈π4，3π2，所以x－7π12∈－π3，11π12，所以sinx－7π12∈－32，1，所以－22sinx－7π12∈－22，64，即函数f(x)在区间π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22.(2)因为c