【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.6　解三角形

§4.6解三角形考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．3．测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝hl＝tanθ微思考1．三角形中有哪些三角函数关系？提示三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2．在△ABC中，AB是sinAsinB的充要条件吗？提示在△ABC中，由AB可推出sinAsinB，由sinAsinB也可推出AB，故AB是sinAsinB的充要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为钝角三角形．(√)(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.(×)题组二教材改编2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝2π3，故选C.3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积为．答案23解析∵23sin60°＝4sinB，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝12×2×23＝23.4.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84m，则塔高CD＝m.答案127解析设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝3xm.由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(3x)2－23·x2cos150°，解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127m.题组三易错自纠5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，A＝30°，则B等于()A．30°B．45°C．135°D．150°答案BC解析根据正弦定理asinA＝bsinB得，sinB＝bsinAa＝2×121＝22，由于b＝21＝a，所以B＝45°或B＝135°.故选BC.6．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1在①b2＋2ac＝a2＋c2；②acosB＝bsinA；③sinB＋cosB＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝π3，b＝2，求△ABC的面积．解(1)若选择①b2＋2ac＝a2＋c2，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22，因为B∈(0，π)，所以B＝π4；由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝bsinAsinB＝2·sinπ322＝3，因为A＝π3，B＝π4，所以C＝π－π3－π4＝5π12，所以sinC＝sin5π12＝sinπ4＋π6＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6＝6＋24，所以S△ABC＝12absinC＝12×3×2×6＋24＝3＋34.(2)若选择②acosB＝bsinA，则sinAcosB＝sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，因为B∈(0，π)，所以B＝π4；由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝bsinAsinB＝2·sinπ322＝3，因为A＝π3，B＝π4，所以C＝π－π3－π4＝5π12，所以sinC＝sin5π12＝sinπ4＋π6＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6＝6＋24，所以S△ABC＝12absinC＝12×3×2×6＋24＝3＋34.(3)若选择③sinB＋cosB＝2，则2sinB＋π4＝2，所以sinB＋π4＝1，因为B∈(0，π)，所以B＋π4∈π4，5π4，所以B＋π4＝π2，所以B＝π4；由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝bsinAsinB＝2·sinπ322＝3，因为A＝π3，B＝π4，所以C＝π－π3－π4＝5π12，所以sinC＝sin5π12＝sinπ4＋π6＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6＝6＋24，所以S△ABC＝12absinC＝12×3×2×6＋24＝3＋34.思维升华(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1(1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A．42B.30C.29D．25答案A解析∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝32＝42.故选A.(2)(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则tanB等于()A.5B．25C．45D．85答案C解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×23＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，如图，则AD＝12AC＝2，BD＝32－22＝5，所以tan∠ABD＝ADBD＝25＝255，所以tan∠ABC＝2tan∠ABD1－tan2∠ABD＝45.题型二正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案B解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．(2)(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A．若tanA＋tanB＋tanC0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是等边三角形答案ACD解析∵tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴选项C正确；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴选项D正确．命题点2三角形面积的计算例3(1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为．答案63解析方法一因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.方法二因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝π6，a＝2，则△ABC面积的最大值为．答案2＋3解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－2bc×32≥2bc－3bc，所以bc≤4(2＋3)，所以S△ABC＝12bcsinA≤2＋3，故△ABC面积的最大值为2＋3.思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．跟踪训练2(1)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为．答案233解析由bsinC＋csinB＝4asinBsinC，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝12.因为b2＋c2－a2＝8，所以cosA＝b2＋c2－a22bc0，所以bc＝833，所以S△ABC＝12×833×12＝233.题型三解三角形应用举例命题点1测量距离问题例4(2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保