【新高考复习】专题05 函数 5.5单调性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题四《函数》讲义5.5单调性知识梳理.单调性1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.3.判断函数单调性常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.4．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．题型一.常见函数的单调性（单调区间）1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1，故选：B．3．已知函数f（x）={𝑥2+(4𝑎−3)𝑥+3𝑎，𝑥＜0𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥+1)+2，𝑥≥0（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（）A．（0，34]B．[34，1）C．[23，34]D．（23，34]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，−𝑏2𝑎）单调递减，可得−𝑏2𝑎≥0．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+2]max，故而得：−4𝑎−32≥0，解答a≤34，并且3a≥2，a∈（0，1）解得：1＞a≥23．∴a的取值范围是[23，34]，故选：C．4．已知函数f（x）={(𝑎−2)𝑥，𝑥≥2(12)𝑥−1，𝑥＜2，满足对任意的实数x1≠x2，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．(−∞，138]C．(−∞，138)D．(138，+∞)【解答】解：由于f（x）满足对任意的实数x1≠x2，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0成立，∴f（x）为R上的减函数，又函数f（x）={(𝑎−2)𝑥，𝑥≥2(12)𝑥−1，𝑥＜2，∴{𝑎−2＜02(𝑎−2)≤(12)2−1，解得a≤138，∴实数a的取值范围为(−∞，138)．故选：C．题型二.利用函数单调性求值域、最值1．若函数f（x）={(1−2𝑎)𝑥+3𝑎，𝑥＜12𝑥−1，𝑥≥1的值域为R，则a的取值范围是（）A．[0，12）B．（12，1]C．[﹣1，12）D．（0，12）【解答】解：由题意可得，y＝（1﹣2a）x+3a单调递增且1﹣2a+3a≥1，故{1−2𝑎＞01+𝑎≥1，解可得，0≤𝑎＜12．故选：A．2．已知函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+14）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4）∪{0}C．（0，1]∪[4，+∞）D．[0，1]∪[4，+∞）【解答】解：对a分类讨论：a＝0时，函数f（x）＝lg（2x+14），由2x+14＞0，可得函数f（x）的值域为R，因此a＝0满足题意．a≠0时，要使得函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+14）的值域为R，则{𝑎＞0△=(2−𝑎)2−4𝑎×14≥0，解得0＜a≤1，或a≥4．则实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞），故选：D．3．已知函数f（x）={𝑥2−2𝑎𝑥+12，𝑥≤1𝑥+4𝑥+𝑎，𝑥＞1，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：由题意可知要保证f（x）的最小值为f（1），需满足{𝑎≥1𝑓(2)≥𝑓(1)，即{𝑎≥12+42+𝑎≥1−2𝑎+12，解得a≥3．故答案为：[3，+∞）4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．R【解答】解：由指数函数的性质可知，函数f（x）＝2x的值域为（0，+∞），令t＝2x，则t＞0，∴f（f（x））＝f（t）＝2t＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）．故选：B．5．已知函数f（x）＝lnx−12𝑎𝑥2+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．(0，43]D．[43，+∞）【解答】解：函数f（x）＝lnx−12𝑎𝑥2+（a﹣1）x+a（a＞0），其定义域满足：x＞0．则f′（x）=1𝑥−ax+（a﹣1）（a＞0）令f′（x）＝0，可得x=−1𝑎（舍去），x＝1．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减；∴当x＝1时，f（x）取得最大值为32𝑎−1；f（x））的值域为（﹣∞，32𝑎−1]，∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞，32𝑎−1]，则32𝑎−1≥1；解得：a≥43．则a的取值范围为[43，+∞）；故选：D．题型三.利用函数单调性比较大小1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a＝f（−12），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c【解答】解：∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f（−12）＝f（52），又∵b＝f（2），c＝f（e），且2＜52＜e，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f（2）＞f（52）＞f（e），∵a＝f（−12）＝f（52），b＝f（2），c＝f（e），∴b＞a＞c，故选：D．2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（𝑙𝑜𝑔123），b＝f（2﹣1.2），c＝f（12），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．a＞b＞c【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，a＝f（𝑙𝑜𝑔123）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（12）＝f（2﹣1），又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，则b＞c＞a，故选：B．3．（2013·天津）设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝ex+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（√3）=𝑙𝑛√3+(√3)2−3=12𝑙𝑛3＞0，g（b）＝0，∴1＜𝑏＜√3．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．题型四.利用(抽象)函数单调性解不等式1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）2．已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥−1，𝑥≤1|𝑥−1|，𝑥＞1，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【解答】解：由分段函数的性质可知𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥−1，𝑥≤1|𝑥−1|，𝑥＞1，f（x）在R上单调递增，若f（a2﹣4）＞f（3a），则a2﹣4＞3a，解可得，a＞4或a＜﹣1．故选：D．3．（2012·全国）当0＜𝑥≤12时，不等式4x＜logax恒成立，则实数a的取值范围是（√22，1）．【解答】解：当0≤x≤12时，函数y＝4x的图象如下图所示：若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于（12，2）点时，a=√22，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足√22＜a＜1，故答案为：（√22，1）．4．（2017·全国3）设函数f（x）={𝑥+1，𝑥≤02𝑥，𝑥＞0，则满足f（x）+f（x−12）＞1的x的取值范围是（−14，+∞）．【解答】解：若x≤0，则x−12≤−12，则f（x）+f（x−12）＞1等价为x+1+x−12+1＞1，即2x＞−12，则x＞−14，此时−14＜x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x−12＞−12，当x−12＞0即x＞12时，满足f（x）+f（x−12）＞1恒成立，当0≥x−12＞−12，即12≥x＞0时，f（x−12）＝x−12+1＝x+12＞12，此时f（x）+f（x−12）＞1恒成立，综上x＞−14，故答案为：（−14，+∞）．