【新高考复习】专题06 导数 6.2导数与函数的单调性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解

专题六《导数》讲义6.2利用导数求函数的单调性知识梳理.利用导数求函数的单调性函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．题型一.求函数的单调区间1．函数f（x）＝（x﹣2）ex的单调递增区间为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝（x﹣2）ex，则f′（x）＝（x﹣1）ex，令f′（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）＝（x﹣2）ex的单调递增区间为（1，+∞），故选：A．2．函数y＝x+3𝑥+2lnx的单调递减区间是（）A．（﹣3，1）B．（0，1）C．（﹣1，3）D．（0，3）【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），y′＝1−3𝑥2+2𝑥=(𝑥+3)(𝑥−1)𝑥2，令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数在（0，1）递减，故选：B．3．确定函数f（x）＝cos2x+4cosx，x∈（0，2π）的单调区间．【解答】解：函数的导数f'（x）＝﹣2sin2x﹣4sinx＝﹣4sinx（cosx+1），令f'（x）＞0，sinx＜0，又x∈（0，2π），所以π＜x＜2π；令f'（x）＜0，sinx＞0，又x∈（0，2π），所以0＜x＜π．故f（x）的单调增区间为（π，2π），单调减区间为（0，π）．题型二.讨论函数的单调性——大题第一问考点1.导后一次型1．已知函数f（x）＝ex﹣kx．（1）讨论函数y＝f（x）的单调区间；【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣k，①当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，则y＝f（x）在R上单调递增，②当k＞0时，x＞lnk时，f′（x）＞0，y＝f（x）的递增区间是（lnk，+∞），x＜lnk时，f′（x）＜0，y＝f（x）的递减区间是（﹣∞，lnk）；综上：当k≤0时，f（x）在R上单调递增，当k＞0时，f（x）的递增区间是（lnk，+∞），f（x）的递减区间是（﹣∞，lnk）．2．已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）．（2）求f（x）的单调区间；【解答】解：（2）由（1）可得f′（x）＝1−1𝑥+1=𝑥𝑥+1，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）的单调递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．考点2.导后二次型1．（2017·全国1）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，∵e2x＞0，ex＞0∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex+12）（ex−1𝑎），令f′（x）＝0，解得：x＝ln1𝑎，当f′（x）＞0，解得：x＞ln1𝑎，当f′（x）＜0，解得：x＜ln1𝑎，∴x∈（﹣∞，ln1𝑎）时，f（x）单调递减，x∈（ln1𝑎，+∞）单调递增；综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln1𝑎）是减函数，在（ln1𝑎，+∞）是增函数；2．已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥2+(2𝑎−2)𝑥−4𝑎𝑙𝑛𝑥，讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：𝑓(𝑥)=12𝑥2+(2𝑎−2)𝑥−4𝑎𝑙𝑛𝑥，x∈（0，+∞）．f′（x）＝x+（2a﹣2）−4𝑎𝑥=(𝑥+2𝑎)(𝑥−2)𝑥．对a分类讨论：a≥0时，函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．﹣2a＝2，即a＝﹣1时，f′（x）=(𝑥−2)2𝑥≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．﹣2a＞2，即a＜﹣1时，函数f（x）在（0，2），（﹣2a，+∞）上单调递增，在（2，﹣2a）上单调递减．0＜﹣2a＜2，即﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，﹣2a），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2a，2）上单调递减．5．已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+12𝑎𝑥2+𝑥，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=1𝑥+𝑎𝑥+1=𝑎𝑥2+𝑥+1𝑥①当a＝0时，f′（x）=1+𝑥𝑥，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a≠0时，令f′（x）＝0得ax2+x+1＝0，△＝1﹣4a．（ⅰ）当△≤0，即𝑎≥14时，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，（ⅱ）当△＞0，即𝑎＜14时，方程ax2+x+1＝0的两个实根分别为𝑥1=−1−√1−4𝑎2𝑎，𝑥2=−1+√1−4𝑎2𝑎．若0＜𝑎＜14，则x1＜0，x2＜0，此时，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增若a＜0，则x1＞0，x2＜0，此时，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0f（x）单调递减，综上，当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，−1−√1−4𝑎2𝑎)，单调递减区间为(−1−√1−4𝑎2𝑎，+∞)；当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），考点3.导后求导型——二阶导数1．已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1𝑒𝑥，（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1𝑥𝑒𝑥（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），…2′令h（x）＝1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又ex＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0…4′因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）…6′题型三.已知单调性求参1．若f（x）=−12x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：由题意可知𝑓′(𝑥)=−𝑥+𝑏𝑥+2＜0，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y＝x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）＝﹣1，所以b≤﹣1，故选：C．2．函数f（x）=13x3﹣ax2﹣3a2x﹣4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥1C．a≤﹣3或a≥1D．﹣3≤a≤1【解答】解：∵y=13x3﹣ax2﹣3a2x﹣4，∴y′＝x2﹣2ax﹣3a2，∵函数y=13x3﹣ax2﹣3a2x﹣4在（3，+∞）上是增函数，∴y′＝x2﹣2ax﹣3a2≥0在（3，+∞）上恒成立，∵y′＝x2﹣2ax﹣3a2＝（x﹣a）2﹣4a2，①对称轴为x＝a＝3，y′＜0，不成立；②当a＞3，﹣4a2＞0，无解；当a＜3，y′在（3，+∞）单调递增，∴y′＞32﹣2a×3﹣3a2＝9﹣6a﹣3a2≥0，∴﹣3≤a≤1，∴实数a的取值范围是[﹣3，1]，故选：D．3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在区间[12，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．(−∞，32)B．(−∞，94)C．（﹣∞，3）D．(−∞，√2)【解答】解：∵函数f（x）在区间[12，2]上存在单调增区间，∴函数f（x）在区间[12，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．𝑓′(𝑥)=1𝑥+2(𝑥−𝑏)=2𝑥2−2𝑏𝑥+1𝑥，设h（x）＝2x2﹣2bx+1，则h（2）＞0或ℎ(12)＞0，即8﹣4b+1＞0或12−𝑏+1＞0，得𝑏＜94．故选：B．题型四.函数单调性的应用——比较大小1．已知奇函数f（x）是R上增函数，g（x）＝xf（x）则（）A．𝑔(𝑙𝑜𝑔314)＞𝑔(2−32)＞𝑔(2−23)B．𝑔(𝑙𝑜𝑔314)＞𝑔(2−23)＞𝑔(2−32)C．𝑔(2−32)＞𝑔(2−23)＞𝑔(𝑙𝑜𝑔314)D．𝑔(2−23)＞𝑔(2−32)＞𝑔(𝑙𝑜𝑔314)【解答】解：由奇函数f（x）是R上增函数可得当x＞0时，f（x）＞0，又g（x）＝xf（x），则g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数，且当x＞0时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x＜0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为g（𝑙𝑜𝑔314）＝g（log34），g（2−23）＝g（1√43），g（2−32）＝g（√24），所以为g（𝑙𝑜𝑔314）＞g（2−23）＞g（2−32）故选：B．2．已知函数f（x）＝3x﹣1+3﹣x+1﹣2cos（x﹣1），则（）A．𝑓(𝑙𝑜𝑔29)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔312)＞𝑓(0.5−0.5)B．𝑓(0.5−0.5)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔29)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔312)C．𝑓(0.5−0.5)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔312)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔29)D．𝑓(𝑙𝑜𝑔29)＞𝑓(0.5−0.5)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔312)【解答】解：由已知得，f（x）关于直线x＝1对称，且f（x）在（1，+∞）单调递增．∵log29＞3，0.5−0.5=√2，2−𝑙𝑜𝑔312=2+𝑙𝑜𝑔32∈(2，3)，∴𝑙𝑜𝑔29＞2−𝑙𝑜𝑔312＞0.5−0.5＞1，∴𝑓(𝑙𝑜𝑔29)＞𝑓(2−𝑙𝑜𝑔312)＞𝑓(0.5−0.5)，又∵f（x）关于直线x＝1对称，∴𝑓(𝑙𝑜𝑔312)=𝑓(2−𝑙𝑜𝑔312)，∴𝑓(𝑙𝑜𝑔29)＞𝑓(𝑙𝑜𝑔312)＞𝑓(0.5−0.5)，故选：A．3．已知a=2𝑒，𝑏=𝑙𝑛(3𝑒)3，𝑐=𝑙𝑛5+15，则（）A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c【解答】解：设𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1𝑥，则𝑓′(𝑥)=−𝑙𝑛𝑥𝑥2，令f'（x）＝0，则x＝1，所以当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．由题意可知a＝f（e），b＝f（3），c＝f（5），因为e＜3＜5，所以f（e）＞f（3）＞f（5），即a＞b＞c．故选：A．题型五.构造函数——利用函数单调性解不等式1．（2011·辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：设F（x）＝f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）＝f（﹣1）﹣（﹣2+4）＝2﹣2＝0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）＝f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．2．（2015·全国2）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）=𝑓(𝑥)𝑥，则g（x）的导数为：g′（x）=𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥2，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=𝑓(𝑥)𝑥为减函数，又∵g（﹣x）=𝑓(−𝑥)−𝑥=−𝑓(𝑥)−𝑥=𝑓(𝑥)𝑥=g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）=𝑓(−1)−1=0，∴函数g（