【新高考复习】考向21 三角恒等变换（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专

考向21三角恒等变换1．（2021·浙江高考真题）已知,,是互不相同的锐角，则在sincos,sincos,sincos三个值中，大于12的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sincossincossincos2，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有22sincossincos2，同理22sincossincos2，22sincossincos2，故3sincossincossincos2，故sincos,sincos,sincos不可能均大于12.取6，3，4，则116161sincos,sincos,sincos424242，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则coscoscos,sinsinsin，由排列不等式可得：sincossincossincossincossincossincos，而13sincossincossincossinsin222，故sincos,sincos,sincos不可能均大于12.取6，3，4，则116161sincos,sincos,sincos424242，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB，60ABC．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（31.732）（）A．346B．373C．446D．473【答案】B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''AB，进而得到答案．【详解】过C作'CHBB，过B作'BDAA，故''''''100100AACCAABBBHAABBAD，由题，易知ADB△为等腰直角三角形，所以ADDB．所以''100''100AACCDBAB．因为15BCH，所以100''tan15CHCB在'''ABC中，由正弦定理得：''''100100sin45sin75tan15cos15sin15ABCB，而62sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin304，所以210042''100(31)27362AB，所以''''100373AACCAB．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AACC的长度通过作辅助线的方式转化为''100AB．1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22，则选正弦较好.4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式2π(0)T求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C：cos()coscossinsin（2）()C：cos()coscossinsin（3）()S：sin()sincoscossin（4）()S：sin()sincoscossin（5）()T：tan()tantanπ(,,π,)1tantan2kkZ（6）()T：tan()tantanπ(,,π,)1tantan2kkZ2．二倍角公式（1）2S：sin22sincos（2）2C：cos22222cossin12sin2cos1（3）2T：tan222tanπππ(π,)1tan224kkkZ且3．公式的常用变形（1）tantantan()(1tantan)；tantantantantantan11tan()tan()（2）降幂公式：21cos2sin2；21cos2cos2；1sincossin22（3）升幂公式：21cos22cos；21cos22sin；21sin2(sincos)；21sin2(sincos)（4）辅助角公式：sincosaxbx22sin()abx，其中2222cos,sinababab，tanba【知识拓展】1.三角函数式的化简口诀：（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角（4）降幂或升幂．2.角的关系：（1）已知角表示未知角例如：，2,2，(2)，(2)，22，22.（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44，πππ()()362.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.1．（2021·全国（理））若2tan3，1tan3，则sin(22)（）A．7130130B．11130130C．3365D．91302．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）（多选题）为了得到函数sin23cos2yxx的图象，可以将函数3sin2cos2yxx的图象作怎样的平移变换得到（）A．向左平移34个单位B．向左平移4个单位C．向右平移34个单位D．向右平移4个单位3．（2021·全国高三其他模拟（文））若sincosyxx是区间0,2上的单调函数，则正数的最大值是___________.4．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（理））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tantan2tantancoscosABABBA，则cosC的最小值为_______．1．（2021·河南高二其他模拟（理））已知,22，若9cos26cos50，则sin（）A．223B．223C．223D．132．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知tan3，则sin22cos2（）A．12B．1C．1D．23．（2021·全国高三其他模拟（文））tan1tan441tan1tan44（）A．1B．1C．2D．24．（2021·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）．A．21sinB．21cosC．12sinD．12cos5．（2021·全国高三其他模拟（文））函数2sinsin63fxxx，若不等式0fxfx…对xR恒成立，则0x的最小正值为（）A．12B．4C．512D．7126．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））若3cos45，则sin2___________.7．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）已知4cos105x，则3sin210x__________________．8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，为锐角，且sincos2cossin，则tan的最大值是___________.9．（2021·上海高三其他模拟）设函数cos20yxx和函数cos100yxx的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，…，nx，若34tancosxx，则sin2___________.10．（2021·浙江高三其他模拟）已知sin24=12，且0,2，则sin2__________；2cos4sin442__________．11．（2021·全国高三其他模拟）在①3ab，②3sin2aA，③13ac这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求c的值及ABC的面积．问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin23cosbCcB，sin3sinAC，______．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．12．（2021·全国高三其他模拟）在①6x是函数()fx图象的一条对称轴，②12是函数()fx的一个零点，③函数()fx在,ab上单调递增，且ba的最大值为2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数1()2sincos(02)62fxxx，__________，求()fx在,22上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1．（2017·山东高考真题（文））已知3cos4x，则cos2x（）A．14B．14C．18D．182．（2016·山东高考真题（理））函数()(3sincos)(3cossin)fxxxxx的最小正周期是（）A．2B．πC．32D．2π3．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．24．（2020·全国高考真题（文））已知πsinsin=31，则πsin=6（）A．12B．33C．23D．