数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）02（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02数学本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合234Axxx，22xBx，则ABRIð（）A．1,2B．4,C．1,4D．1,4【答案】D【分析】根据题意求集合,ABRð，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：2|341,4,221,xAxxxBxRð所以1,4ABRð.故选：D.2．已知复数z满足1i11iz，则2iz（）A．2B．2C．5D．10【答案】B【分析】根据复数的运算可得1iz，结合共轭复数可得2i1iz，进而可求模长.【详解】由题意可得：21i1i111i1i1i1iz，则2i2i1i1iz，所以222i1i112z.故选：B.3．“3a”是“函数fxxa在区间3,上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出函数fxxa在区间3,上为减函数的a的取值范围，结合与3a的关系求出答案【详解】fxxa的图象如图所示，要想函数fxxa在区间3,上为减函数，必须满足3a，因为3是3aa的子集，所以“3a”是“函数fxxa在区间3,上为减函数”的充分不必要条件.故选：A4．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【分析】解法1：把位置依次标为1，2，3，4，5，6．总的排法是先排2个0，再排4个1，有1种排法，2个0不相邻排法是先排4个1，再从5个空中选2个空插入2个0，然后利用古典概型的概率求解；解法2：先排4个1，再从5个空中选2个空插入2个0，总排法为2个0相邻和不相邻，然后利用古典概型的概率求解.【详解】解法1：把位置依次标为1，2，3，4，5，6．总的排法：先排2个0，有26C15种排法，再排4个1，有1种排法，故共有15种排法．满足题意的排法：先排4个1，有1种排法，其间有5个空，选2个空插入2个0，2个0不相邻的排法有25C10种，∴2个0不相邻的概率为102153，故选：C．解法2：先排4个1，有1种排法，其间有5个空，选2个空插入2个0．若2个0相邻，则将其视为“一个元素”，有15C5种排法；若2个0不相邻，则有25C10种排法，∴2个0不相邻的概率为1025103，故选：C．5．已知平面向量2,0a，1,3b，向量ab与akb的夹角为π6，则k（）A．2或12B．3或13C．2或0D．3或12【答案】A【分析】利用向量的模的坐标公式求ab，akb，根据数量积的坐标公式求aakbb，结合夹角公式列方程求k【详解】因为2,0a，1,3b，所以1,3ab，2,3akbkk，所以2ab，2322kaakbkbk，又向量ab与akb的夹角为π6，所以2223cos,2221abakbkabakbabakbkk，所以22520kk，所以2k或12k，故选：A.6．已知双曲线222210,0yxabab的上､下焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线的上支交于M，N两点，若2MF，MN，2NF成等差数列，且12MFMF，则该双曲线的离心率为（）A．103B．102C．52D．62【答案】B【分析】先根据2MF，MN，2NF成等差数列，并结合双曲线的定义得到4MNa，再设1MFx，在2RtMNF中利用勾股定理得到xa，进而在12RtFMF△中利用勾股定理得到2225ca，从而得到双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义知212MFaMF，212NFaNF，∴221144MFNFaMFNFaMN，∵222MFNFMN，∴4MNa，令1MFx，则14NFax，在2RtMNF中，22222MFMNNF，∴222246axaax，解得xa，∴1MFa，23MFa，所以在12RtFMF△中，22232aac，∴2225ca，∴102ca.故选：B7．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABBA内，若1DPCM，则PBC的面积的最小值是()A．255B．510C．55D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得0,1,21BPyy，进而结合二次函数性质求得min55BP，利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点1,,,0,1Pyzyz，10,0,1D，所以11,,1DPyz．因为0,1,0C，11,0,2M，所以11,1,2CM,因为1DPCM，所以11102yz，所以21zy．因为1,1,0B，所以0,1,21BPyy，所以222121562BPyyyy,因为01y，所以当35y时，min55BP．因为正方体中，BC平面11ABBA，BP平面11ABBA,故BCBP，所以min15512510PBCS△，故选：B．8．若函数22eecosxxfxmx在0,上单调递增，则实数m的取值范围为（）A．,0B．e,2C．,1D．1,2【答案】D【分析】根据题意可得0fx在0,上恒成立，构建gxfx，结合定点00g分析运算.【详解】因为22eecosxxfxmx，则221eesin2xxfxmx，由题意可得221eesin02xxfxmx在0,上恒成立，构建gxfx，则221eecos4xxgxmx，注意到00g，则1002gm，解得12m，若12m，则2222111eecos2eecoscos442xxxxgxmxmxmx，当且仅当22eexx，即0x时，等号成立，若102m，因为cos1x，则cosmxm，可得11cos022gxmxm；若0m，因为cos1x，则cosmxm，可得11cos022gxmxm；综上所述：当12m时，0gx在0,上恒成立，则gx在0,上单调递增，可得00gxg，符合题意；故实数m的取值范围为1,2.故选：D.【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若函数y＝f（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f（x）为“t型函数”，下列函数中为“2型函数”的有（）A．y＝x﹣x3B．y＝x+exC．y＝sinxD．y＝x+cosx【答案】CD【分析】首先求函数的导数，结合“t型函数”的定义，判断是否得到相应的点，即得答案.【详解】对于A，函数的导数y′＝1﹣3x2，由1﹣3x12+1﹣3x22＝2，得3x12+3x22＝0，得x1＝x2＝0，故A不是“2型函数”；对于B，y＝x+ex的导数为y′＝1+ex，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2，故B不是“2型函数”；对于C，y′＝cosx，由cosx1+cosx2＝2，得cosx1＝cosx2＝1，可取x1＝0，x2＝2π，故C是“2型函数”；对于D，y＝x+cosx的导数为y′＝1﹣sinx，若1﹣sinx1+1﹣sinx2＝2，即sinx1＝﹣sinx2，此时有无数多个解，故D是“2型函数”．故CD是“2函数”．故选：CD．【点睛】关键点点睛：本小题主要考查对于新定义的概念的理解,考查函数导数的求解公式,.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,本题中需要切线的斜率之和等于2,故将题目所给函数求导后,利用导数和的大小来确定选项.10．下列在(0，2π)上的区间能使cosxsinx成立的是（）A．(0，4)B．(4，54)C．(54，2π)D．(4，2)∪(π，54)【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解.【详解】在同一平面直角坐标系中画出y=sinx和y=cosx的图象，在(0，2π)上，当cosx＝sinx时，x＝4或x＝54，结合图象可知满足cosxsinx的是(0，4)和(54，2π).故选：AC．【点睛】方法点睛：解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性；(4)三角函数型不等式用图像法.11．已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若23fx为奇函数，123fx的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A．203fB．203ffC．203ffD．103f【答案】ABD【分析】根据2()3fx为奇函数可得4()()3fxfx，根据1(2)3fx的图象关于y轴对称可得2()()3fxfx，两个等式两边同时取导数，可得4()()3fxfx、2()()3fxfx，对x赋值，结合选项即可求解.【详解】因为2()3fx为奇函数，定义域为R，所以22()()33fxfx，故4()()3fxfx，等式两边同时取导数，得4()()3fxfx，即4()()3fxfx①，因为1(2)3fx的图象关于y轴对称，则11(2)(2)33fxfx，故2()()3fxfx，等式两边同时取导数，得2()()3fxfx②.由4()()3fxfx，令23x，得22()()33ff，解得2()03f，由2()()3fxfx，令0x，得2(0)()3ff，由②，令0x，得2(0)()3ff，令13x=-，得11()()33ff，解得1()03f，故选：ABD.12．设数列na的前n项和为nS，且1(1)(1)(