数学-2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）（考试版）

2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若ii47iz，则复数z的虚部为（）A．-5B．5C．7D．-72．已知集合|240Axx，|lg1Bxx，则AB（）A．|2xxB．|10xxC．|02xxD．|0xx或2x3．设5250125(21)xaaxaxax，则125aaa（）A．2B．1C．1D．24．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（）A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线5．已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,FF，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,AB两点，且22FABFBA，则2BF（）A．54B．254C．25D．56．记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．已知函数,1,()πsin,1,2xxfxxx则下列结论正确的是（）．A．0xR，00()()fxfxB．xR，()()fxfxC．函数()fx在ππ,22上单调递增D．函数()fx的值域是[1,1]8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为3，直线1l，2l互相垂直，垂足为(1,5)M，且1l与圆O相交于A，C两点，2l与圆O相交于B，D两点，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．10B．12C．13D．159．已知函数()sin()fxx在区间π2π,63单调递增，直线π6x和2π3x为函数yfx的图像的两条对称轴，则5π12f（）A．32B．12C．12D．3210．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13．记第n次推送时不购买此商品的概率为nP，当2n时，nPM恒成立，则M的最小值为（）A．97132B．93132C．97120D．73120第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知点1,5A在抛物线C：22ypx上，则A到C的准线的距离为______.12．如图，,BCDE是半径为3的圆O的两条直径，2BFFO，则FDFE__________．13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．14．已知函数ln0afxxaxa，exgxx，若2ex1,时，fxgx恒成立，则实数a的取值范围是____.15．在数列na中各项均为正数，且211nnnaaa(1,2,3,)n=?，给出下列四个结论：①对任意的2n…，都有1na②数列na不可能为常数列③若102a，则数列na为递增数列④若12a，则当2n…时，12naa其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，1sin3B，且______．在①2222abc，②1ABBC，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求b．17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为211,xs，考核成绩的平均数和方差分别为222,xs，试比较1x与221,xs与22s的大小.（只需写出结论）18．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，//ADBC，2PAADCD，3BC.E为PD的中点，点F在PC上，且12PFFC.(1)求证：平面AEF平面PCD；(2)求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值；(3)若棱BP上一点G，满足2PGGB，求点G到平面AEF的距离.19．已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点2,1A，长轴长为42.(1)求椭圆C的方程及其焦距；(2)直线:lykxm与椭圆C交于不同的两点,MN，直线,AMAN分别与直线4x交于点,PQ，O为坐标原点且OPOQ，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.20．已知函数2e(1)axfxx.(1)若1a，求fx在0,0f处切线方程；(2)求fx的极大值与极小值；(3)证明：存在实数M，当0a时，函数yfxM有三个零点.21．已知A为有限个实数构成的非空集合，设,ijijAAaaaaA，,ijijAAaaaaA，记集合AA和AA其元素个数分别为AA，AA.设nAAAAA.例如当1,2A时，2,3,4AA，1,0,1AA，AAAA，所以0nA.(1)若13,5A,，求nA的值；(2)设A是由3个正实数组成的集合且,0AAAAA，证明：nAnA为定值；(3)若na是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意*Nn，设12,,,nnAaaa，nnbnA.已知121,2aa，且对任意*N,0nnb，求数列na的通项公式.