专题3 第2讲　数列求和及其综合应用

第2讲数列求和及其综合应用一、选择题1．数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a4，a4040是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则a2022的值为()A．4B．－4C．4040D．－40402．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝1fn＋1＋fn(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2022等于()A.2022＋1B.2023－1C.2022－1D.2023＋13．(2022·衡水模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋2＝－an，且a1＝1，a2＝2，则S2023等于()A．0B．1C．2D．34．(2022·涪陵模拟)在数列{an}中，an＝(－1)n－1·(4n－3)，前n项和为Sn，则S22－S11为()A．－85B．85C．－65D．655．已知F是椭圆x225＋y216＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，使得|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d(d0)的等差数列，则公差d的最大值为()A.27B.25C.310D.376．(2022·西南四省名校大联考)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n，若对任意n∈N*，Sn≥(－1)nnλ恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[－3,4]B．[－22，22]C．[－5,5]D．[－22－2,22＋2]7.如图，在四边形ABCD中，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn，点Gn(n∈N*)满足GnFn——→＋2(1＋an)GnC—→＝an＋1GnB—→，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a3＝5B．数列{an＋3}是等比数列C．an＝4n－3D．Sn＝2n＋1－3n8．“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示．如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，以此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an，…；如图(2)阴影部分，设Rt△AEH的面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，….下列说法错误的是()A．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为1294B．an＝4×104n－1C．使得不等式bn12成立的n的最大值为4D．数列{bn}的前n项和Sn4二、填空题9．在数列{an}中，a1＝3，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝________.10．已知数列{an}满足an＝n2＋λn，n∈N*，若数列{an}是单调递增数列，则λ的取值范围是______．11．已知函数f(n)＝n2，n为奇数，－n2，n为偶数，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝________.12．(2022·聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2，…，则第5行从左数起第6个数的值为________．用An表示第n行所有项的乘积，若数列{Bn}满足Bn＝log2An，则数列{Bn}的通项公式为________．三、解答题13．(2022·烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S3＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1,2，…)之间插入2k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T100的值．14．(2022·长沙质检)已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．(1)求an和Sn；(2)若bn＝(2)na＋1Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn≥mn＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．