专题2 第2讲　三角恒等变换与解三角形 (71)

第2讲三角恒等变换与解三角形[考情分析]1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．考点一三角恒等变换核心提炼1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.例1(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα＋π4sinβ，则()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1(2)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα等于()A.1515B.55C.53D.153规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪演练1(1)(2022·张家口模拟)已知sinθcosθ＋3cos2θ＝cosθ＋32，θ∈0，π2，则θ＝________.(2)已知函数f(x)＝sinx－2cosx，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cosθ＝________.考点二正弦定理、余弦定理核心提炼1．正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.3．三角形的面积公式：S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.例2(1)(2022·济南模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则ab等于()A．3B.13C.33D.3(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．①证明：2a2＝b2＋c2；②若a＝5，cosA＝2531，求△ABC的周长．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．跟踪演练2(1)在△ABC中，若cosC＝79，bcosA＋acosB＝2，则△ABC外接圆的面积为()A.49π8B.81π8C.81π49D.81π32(2)(2022·衡水中学模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanAtanB＝2c－bb.①求角A的大小；②若a＝2，求△ABC面积的最大值及此时边b，c的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．例3(1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1m)()A．42mB．45mC．51mD．57m(2)(2022·宜宾模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．206海里B．406海里C．20(1＋3)海里D．40海里规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面PAD与地面垂直，在山顶P点测得点A，C，D的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB＝200m，CD＝100m，现欲沿直线AD开通穿山隧道，则隧道BC的长为()A．100(3＋1)mB．200(3＋1)mC．2003mD．1003m(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝602米，则OP等于()A．40米B．30米C．302米D．303米