专题6 微重点13　离心率的范围问题 (80)

微重点13离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围例1(1)(2022·南京模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则e1e2的最小值为()A.32B.32C.34D.34(2)(2022·杭州模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点(点M在第一象限)．若|MN|＝|F1F2|，|NF1||MF1|≥33，则椭圆C的离心率e的最大值为()A.6－12B.6－1C.3－12D.3－1规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．跟踪演练1(2022·嘉兴模拟)如图，已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，其渐近线与圆x2＋y2＝a2在第二象限交于点P，过P作圆的切线过双曲线的左焦点且与右支交于点Q，若|PQ||QF2|＋25|OF2|，则双曲线的离心率的取值范围是________．考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围例2(1)(2022·西安模拟)圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，过上底面圆弧上任意一点F作平面与圆柱的侧面相交，则相交所得到曲线的离心率的最大值为()A.12B.22C.2D．2(2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是()A.0，32B.32，1C.0，12D.12，1规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．跟踪演练2(2022·运城模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A(a，0)，Q(3a，0)在x轴上，若双曲线C上存在一点P(异于点A)使得AP⊥PQ，则C的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，2]D．(1，2)考点三利用几何图形的性质求离心率的范围例3(1)(2022·乐清模拟)设F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若在直线x＝－a2c(c为半焦距)上存在点P，使|PF1|的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为()A.0，33B.33，1C.0，22D.22，1(2)(2022·萍乡模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos∠PAQ≥－35，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，13]B.1，132C.1，213D．[21，＋∞)规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪演练3(2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为____________．