专题6 第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系 (84)

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等．考点一弦长、面积问题核心提炼已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.例1(2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，短轴长为23，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝1827，求直线l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易错提醒(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．跟踪演练1(2022·宝鸡模拟)已知椭圆C1的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为12.(1)求椭圆C1的标准方程；(2)过F点的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二中点弦问题核心提炼已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.若E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则k＝－b2a2·x0y0；若E的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则k＝b2a2·x0y0；若E的方程为y2＝2px(p0)，则k＝py0.例2(2022·新高考全国Ⅱ)已知直线l与椭圆x26＋y23＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝23，则l的方程为______________．规律方法处理中点弦问题常用的求解方法跟踪演练2已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为()A．(1，－1)B．(2,0)C.12，－32D．(1,1)考点三直线与圆锥曲线位置关系的应用核心提炼直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线方程与圆锥曲线方程．(2)消元得到关于x或y的一元二次方程．(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．例3(1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．(2)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则下列结论正确的是________．(填序号)①C的准线为y＝－1；②直线AB与C相切；③|OP|·|OQ||OA|2；④|BP|·|BQ||BA|2.易错提醒(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．跟踪演练3(1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．1B．2C．4D．8(2)(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：x22＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为()A．1B.3C.2D．2