第01讲 三角函数的图像与性质（练）（解析版）

第01讲三角函数的图像与性质一、单选题1．若()sincos2fxxx在[0,]a是增函数，则a的最大值是（）A．4B．2C．34D．【答案】A【分析】根据函数性质，可得()fx的单调区间，[0,]a是()fx单增区间的子集.【详解】()sincos2=2sin()24fxxxx，根据函数图象和性质，()fx在[,]44上单调递增，在3[,]44上单调递减.而[0,]a[,]44，所以a的最大值为4.故选：A.2．函数2sin4cos6yxx的值域是（）A．2,10B．0,10C．0,2D．28,【答案】A【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx的二次函数，利用换元法可得值域.【详解】函数22sin4cos61cos4cos6yxxxx22cos4cos5cos21xxx，因为cos1,1x，所以当cos1x时，函数取得最小值2，当cos1x时，函数取得最大值10，故函数的值域为2,10，故选：A．3．若函数π2sin24fxx在区间π,8内存在最小值，则的值可以是（）A．4π8B．7π8C．5π8D．3π8【答案】B【分析】由x的范围，得到π24x的范围，由fx在开区间存在最小值，即可列出不等式，求出的范围，从而得到结果.【详解】由,8πx，得2πππ2,424x.若fx在开区间π,8内存在最小值，则π3π242，解得58πθ，故选:B.4．下列有关命题的说法正确的是（）A．若集合2440Axkxx中只有两个子集，则1kB．2lg23fxxx的增区间为,1C．若终边上有一点3,4P，则9sincos2225D．函数1cos2yx是周期函数，最小正周期是2【答案】D【分析】对于A，对方程2440kxx中的k是否为0分类讨论.对于B，先求此复合函数的定义域，再根据同增异减原则求增区间.对于C，根据点P坐标，求出sin,cos，再利用诱导公式求解.对于D，画出函数图像即可判断.【详解】若集合2440Axkxx只有两个子集，则集合A只有一个元素，若0k，方程440x，得1x，满足一个元素的要求.若0k，即判别式16160k，解得1k，所以0k或1，A错误.由2230xx得13x-，所以函数2lg23fxxx的定义域为1,3，2yx2x3在(1,1)上递增，根据复合函数同增异减原则，增区间为1,1，B错误.43sin,cos55，所以12sincoscos(sin)2225，C错误.1cos2yx的图像如下图所示：最小正周期T=2π，D正确.故选：D5．已知函数sin(0)fxx在64，上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为34x，则的值可能是（）A．13B．23C．1D．43【答案】B【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数sin(0)fxx在64，上是单调函数，则满足3,Z4242kk，可得42,Z3302kk，结合选项可得，可能的值为23和2.故选：B.6．设函数()cos()fxAx(其中0,||4,0)A的大致图象如图所示，则()fx的最小正周期为（）A．2B．C．2D．4【答案】C【分析】根据图象求得A，，，从而即可求()fx的最小正周期.【详解】解：根据函数()cos()fxAx(其中0,||4,0)A的大致图象，可得2A，2cos1，因为0，所以3，所以()2cos()3fxx，结合五点法作图，可得632，解得1，所以()2cos3fxx，所以函数()fx的最小正周期为2，故选：C.7．已知函数sincos2sincos2fxxxxx，则（）A．fx的最大值为3，最小值为1B．fx的最大值为3，最小值为-1C．fx的最大值为32，最小值为34D．fx的最大值为32，最小值为32【答案】C【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.【详解】因为函数sincos2sincos2fxxxxx，设sincos2sin4xxxt，2,2t，则22sincos1xxt，所以2213124yttt，2,2t，当12t时，min34ft；当2t时，max32ft.故选：C二、填空题8．已知函数ππ()sincos44fxxx，若0()fxfx对任意实数x都成立，则0x的一个取值为____________．【答案】π4（答案不唯一）【分析】化简π()2sin4fxx，由0()fxfx对任意实数x都成立等价于02fx，由此即可求出0x的取值.【详解】πππ()sincos2sin444fxxxx，要使0()fxfx对任意实数x都成立，则02fx，所以0ππ2π,42xkkZ，解得0π2π,4xkkZ，故答案为：π4（答案不唯一）.9．已知函数sin0,02fxAxA，图象的一部分如图所示，则6f____________．【答案】2【分析】由图可知2A，根据曲线过点（0,1），可得φ=6，再由五点作图法得11π12ω+6=2π，进而求出的值，可得函数fx的解析式，从而即可求解.【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上，所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=12，因为|φ|2，所以φ=6，又11π12是函数的一个零点，由五点作图法可得11π12ω+6=2π，所以ω=2，所以()2sin(2)6fxx，所以2sin22666f.故答案为：2.10．已知()2sin()cosfxxx是奇函数，则sin的值为______．【答案】12【分析】首先根据奇函数的性质00f，求得1sin2，再代入验证.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)0f，即2sincos00，解得1sin2，经检验当1sin2时，3cos22sincos2cossincos2sincosfxxxxx3sinx，不管函数是3sinyx还是3sinyx，都是奇函数.所以1sin2.故答案为：12三、解答题11．已知函数()cos()(0fxx，0)为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为24．(1)求()fx的解析式；(2)若已知三点坐标()1,0A，1,12Bf，1,2Cf．若//ABACuuuruuur，且0,2，求sincos+的值．【答案】(1)sinfxx(2)2【分析】（1）由题意设最高点为1,1x，相邻最低点为2,1x，则12||2Txx，由三角函数的图象及已知可得2222()2(4)2T，解得T，利用周期公式可求，由(0)cos0f，结合范围0，可求的值，即可得解()fx的解析式．（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得1cossin2，进而利用三角函数恒等变换即可求解sincos+的值．（1）解：设最高点为1,1x，相邻最低点为2,1x，则122Txx，由三角函数的图象及已知，可得2224(4)2T，即22444T，解得2T，由2T，可得1，所以()cos()fxx，因为函数()cos()(0fxx，0)为奇函数，所以(0)cos0f，得2k，Zk，又0，所以2，于是()cos()sin2fxxx，（2）解：由（1）可得sincos22f，sinsinf，三点坐标(1,0)A，(cos1,1)B，n1,si2C，向量(cos,1)AB，1,sin2AC，//ABACuuuruuur，且π(0,)2，1cossin2，则1cossin2，2(cossin)12sincos2，π(0,)2，所以sin0，cos0，cossin2．一、单选题1．已知tan01fxx在区间0,3上的最大值为33，则（）A．12B．13C．23D．34【答案】A【分析】先求出03x，再根据max3tantan363fx解方程即可.【详解】因为0,3x，即03x，又01，所以033x，所以max3tantan363fx，所以36，12．故选：A．2．将函数2sin24fxx的图象向右平移4个单位，得到函数gx的图象，则0gA．2B．2C．2D．0【答案】C【分析】利用函数sin()yAx的图象变换规律求得()gx的解析式，可得(0)g的值．【详解】解：将函数()2sin(2)4fxx的图象向右平移4个单位，得到函数3()2sin(2)2sin(2)244gxxx的图象，则33(0)2sin()2sin244g，故选C．3．已知sin0,0,fxAxA，其部分图象如图所示，则fx的解析式为A．13sin26fxxB．153sin26xxfC．153sin26xxfD．13sin26fxx【答案】D【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得,A，再根据五点作图法求得即可.【详解】由图可知24T，解得12；又因为3maxfx，故可得3A；由五点作图法可知1023，解得6，故13sin26fxx.故选：D.4．函数()2sin(2)()2fxx的图像向左平移6个单位长度后对应的函数是奇函数，函数23cos2gxx．若关于x的方程2fxgx在0,内有两个不同的解，，则cos的值为（）A．55B．55C．255D．255【答案】D【分析】利用函数sin()yAx的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得25sin25x，即25sin25，25sin25，从而得到25coscossin25，进而得到的值.【详解】函数()2sin2()2fxx的图像向左平移6个单位长度后，可得2sin23yx的图象.