第02讲 等差数列及前n项和（练）（原卷版）

第02讲等差数列及前n项和一、单选题1．已知等差数列na的前n项和为44,3,125,,17NnnnSSSnnS，则n的值为（）A．8B．11C．13D．172．已知等差数列na满足30120S，6933060aaaa，则na（）A．225nB．227nC．315nD．318n3．设等差数列na的前n项和为nS，且40450S，40440S，则nS取最小时，n（）A．4045B．4044C．2023D．20224．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（）A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤5．在1和10之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，则1211lglglgTTT（）A．132B．11C．44D．526．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑上刻着“〩〢”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为（）A．1560B．1890C．1925D．13407．已知数列na，nb为等差数列，且公差分别为12d，21d，则数列23nnab的公差为（）A．7B．5C．3D．1二、填空题8．在数列na中，12a，12nnaa，则10a______．9．数列{an}满足11535nnnaa，16a，则数列{an}的通项公式为___________.10．已知数列na的前n项和为nS，且12a，142nnSa，则na__________．三、解答题11．已知数列na满足13a，22a，11na为等差数列．(1)求na的通项公式；(2)求满足不等式122023naaa的最大正整数n．12．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；(2)问：该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低？最低年平均污水处理费用是多少万元？一、单选题1．对于数列na，定义11222nnnaaaAn为数列na的“好数”，已知某数列na的“好数”12nnA，记数列nakn的前n项和为nS，若6nSS对任意的*Nn恒成立，则k的取值范围为（）A．1733，B．13964，C．2573，D．16773，2．已知数列na的各项均为正数，且212naaann，则数列的nan前n项和nS（）A．221nnB．222nnC．23nnD．23nn3．已知na是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（）A．8,33B．8,33C．8,33D．8,334．设数列na的前n项和为nS，且11a，21nnSann，则数列13nSn的前10项和是（）A．25B．920C．511D．10115．ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a、b、c成等差数列，1b，且6B，则ac（）A．31B．23C．335D．6336．已知数列na满足112a，11nnnaaa，则2022a（）A．12020B．12021C．12022D．120237．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列各项之和为（）A．1666B．1676C．1757D．2646二、填空题8．已知首项均为32的等差数列na与等比数列nb满足32ab，43ab，且na的各项均不相等，设nS为数列nb的前n项和，则nS的最大值与最小值之差为__________．9．在平面直角坐标系中，已知1P的坐标为1,0，将其绕着原点按逆时针方向旋转30得到2P，延长2OP到3P使322OPOP，再将3P绕原点按逆时针方向旋转30得到4P，延长4OP到5P使542OPOP，如此继续下去，则点2010P的坐标为___________.10．数列na满足1Za，123nnaan，且其前n项和为nS．若13mSa，则正整数m______．三、解答题11．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设备是多少套？(2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？参考数据：101.12.6，101.00491.05．12．已知数列na满足13a，22a，21,213,2nnnankaank.(1)求数列na的通项公式；(2)求数列na的前2n项的和2nS.一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.92．（2022·北京·高考真题）设na是公差不为0的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题3．（2022·全国·高考真题（文））记nS为等差数列na的前n项和．若32236SS，则公差d_______．三、解答题4．（2022·天津·高考真题）设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab．(1)求na与nb的通项公式；(2)设na的前n项和为nS，求证：1111nnnnnnnSabSbSb；(3)求211(1)nkkkkkaab．5．（2022·全国·高考真题）已知na为等差数列，nb是公比为2的等比数列，且223344ababba．(1)证明：11ab；(2)求集合1,1500kmkbaam中元素个数．【答案】(1)证明见解析；6．（2022·全国·高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa．7．（2022·全国·高考真题（理））记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．8．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列na的首项11a，公差1d．记na的前n项和为nSnN．(1)若423260Saa，求nS；(2)若对于每个nN，存在实数nc，使12,4,15nnnnnnacacac成等比数列，求d的取值范围．9．（2021·天津·高考真题）已知na是公差为2的等差数列，其前8项和为64．nb是公比大于0的等比数列，1324,48bbb．（I）求na和nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN，（i）证明22nncc是等比数列；（ii）证明*112222nkkkkkanNcac10．（2021·全国·高考真题（理））记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．