第03讲 二次函数与一元二次方程、不等式（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版

第3讲二次函数与一元二次方程、不等式本讲为基础知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于运算类知识点，主要出现在最后的不等式运算中，结合二次函数图象深入了解函数图象在解不等式中的运用，从而解决更多的不等式运算问题。考点一二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－ab2，顶点坐标是)44,2(2abacab顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝221xx考点二二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域R值域),44[2abac]44,(2abac对称轴x＝－ab2顶点坐标)44,2(2abacab奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在]2,(ab上是减函数；在),2[ab上是增函数在]2,(ab上是增函数；在),2[ab上是减函数常用结论：①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当00a时恒有f(x)0，当00a时，恒有f(x)0.考点二三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－2ba没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}|2bxxaRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：1.有关分数的性质(1)若ab0，m0，则bbmaam；bbmaam(b－m0).(2)若ab0，且ab⇔11ab.2.对于不等式ax2＋bx＋c0，求解时不要忘记a＝0时的情形.3.当Δ0时，不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.考点二特殊不等式的解法1.高次不等式的解法数轴标根法：(奇穿偶回)（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2.分式不等式的解法（1）当不等式一边为0时，不等式两边同时乘上分母的平方即可转化成一元二次不等式，注意分母不为零的情况。（2）当不等式两边均不为零时需移至一边进行通分再进行转化运算。高频考点一二次函数与一元二次方程、不等式例1、已知220xkxm的解集为1,t（1t），则km的值为（）A．1B．2C．1D．2【答案】B【解析】解：因为220xkxm的解集为1,t（1t），所以1x为220xkxm的根，所以2km.故选：B【变式训练】1．已知方程22110xaxaa的两根分别在区间0,1，1,3之内，则实数a的取值范围为______．【答案】0,1.【解析】方程2211010xaxaaxaxa－方程两根为12,1xaxa，若要满足题意，则01113aa，解得01a，故答案为：0,1.高频考点二高次不等式例2、解不等式：3210xxxx．【答案】{|10xx或23}x．【解析】不等式可化为3210xxxx，如图于是，该不等式的解集为：{|10xx或23}x.【变式训练】1.已知集合A={x|2|x|m}，B={3|xx-26x+8x0}，C={2|xx-2x-15=0}.(1)若AC=A，求实数m的最小值;(2)若AB，求实数m的取值范围.【答案】(1)5(2),4【解析】(1)由题有{3,5}C，若ACA，则{3,5}A，则可知2325mm，解得：5m，所以m的最小值为5.(2){|240}0,24,Bxxxx，由AB，则①当A时，2m；②当A时，2m，有{|22}Axmxxm或，从而有24m综上：数m的取值范围是,4.高频考点三分式不等式例3、解关于x的不等式22433xx．【答案】43xx或54x【解析】343423234545220304340xxxxxxxx45340340xxx，解得43x或54x，所以不等式22433xx的解集为43xx或54x，【变式训练】1.解关于x的不等式105xx．【答案】{|15}xx【解析】110055xxxx,等价转化为150xx，解得15x所以不等式的解集为15xx．