第01讲 平面向量（练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第01讲平面向量1．已知四边形ABCD是矩形，||4AB，||3BC，则ACDB（）A．25B．16C．7D．0【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．【详解】221697ACDBABBCABADABADABADABAD故选：C2．若平面向量,,abc两两的夹角相等，且1,2,3abc，则abc（）A．3或6B．3或6C．3或6D．6或3【答案】A【分析】根据题意,由平面向量,,abc两两的夹角相等可得夹角为0或120,对夹角的取值分类讨论即可求出abc的值.【详解】由平面向量,,abc两两的夹角相等,得夹角为0或120,当夹角为0时,2222 222abcabcabcabacbc1446126当夹角为120时,2222222abcabcabcabacbc142363故选：A3．已知非零向量a、b满足abrr，且2abb，则,ab（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】C【分析】由已知可得出20abb，利用平面向量数量积的运算性质求出cos,ab的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为2abb，则222cos,0abbababb，ab，可得1cos,2ab，因为0,πab，因此，2π,3ab.故选：C.4．在ABC中，点D在BC边上，2BDDC．记,ABaADb，则AC（）A．1322abB．1322abC．1322abD．1322ab【答案】A【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解.【详解】如图所示：12ACADDCADBD1()2ADADAB13132222ABADab.故选：A5．若非零向量a，b满足abrr，+2aba，则向量a与b的夹角为（）A．6B．3C．23D．56【答案】C【分析】由+2aba，得+20aba，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.【详解】设向量a与b的夹角为（[0,]），因为+2aba，所以+20aba，所以220aab，得22cos0aab，因为非零向量a，b满足abrr，所以1cos2，因为[0,]，所以23，故选：C6．已知向量1,2,1,1,3,2abc且cpaqb，则（）A．4,1pqB．1,0pqC．0,1pqD．1,4pq【答案】D【分析】利用向量相等列方程即可求解.【详解】因为1,21,1(,2,3,2)paqbpqpqpqcpaqb，所以322pqpq，解得14pq．故选：D7．已知向量a，b满足2ab，()3aab，则a_____________.【答案】1【分析】根据向量的运算公式及向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，向量,ab满足2ab且()3aab，可得22()23aabaaba，解得21a，即1a.故答案为：1.8．已知平面向量a，b，c满足0abc，且1abc，则ab的值为________.【答案】12##0.5【分析】0abc可化为abc，两边平方结合数量积的性质可求ab.【详解】因为0abc，所以abc，两边平方可得2222ababc，又1abc，所以1·2ab，故答案为：129．已知向量,ab满足2a,2b，a与b的夹角为45，aba，则_______．【答案】2【分析】由已知条件可得ab的值，再由aba可得0aba，通过计算即可求出的值.【详解】因为aba，所以0aba，即2aab.又2a，2b,a与b的夹角为45，则cos452abab，所以22aab．故答案为：2.10．已知平面向量13,22a，2b，且27abba.(1)求向量a与b的夹角；(2)当k为何值时，向量2akb与ab垂直？【解析】（1）因为13,22a，所以1a，由27abba，得2271abb，所以1ab，所以1cos,2ababab，又,0,ab，所以2,3ab，即向量a与b的夹角为23.（2）因为向量2akb与ab垂直，则20akbab，所以22220akabkb，即2212140kk，解得45k.故当45k时，向量2akb与ab垂直.11．已知向量,ab满足2,1,2abab．(1)求ab的值；(2)求ab的值．【解析】（1）因为2,1,2abab，可得2222,1,24214ababaabbab，解得12ab.（2）因为2221242162abaabb，所以6ab.1．已知向量,,abc满足1,20,2aabcacb，则向量cb与a夹角的最大值是（）A．12B．6C．4D．3【答案】B【分析】根据题意化简得到2()8120cbacb，得到2()128cbacb，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.【详解】由题意知2cacb，可得2cbbacb，又由2barr，可得23cbacb，则2224()69()bbbcacac，即2()8120cbacb，即2()128cbacb，所以22212()()123cos,()288acbcbcbacbacbcbcb，当且仅当2()12cb时，等号成立，所以向量cb与a夹角的最大值是6.故选：B.2．ABC中，若235CACBABAB，则tantanAB的值为（）A．2B．4C．3D．23【答案】B【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得3coscos5aBbAc，再利用余弦定可得22235abc，根据tansincostansincosAABBBA，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.【详解】因为在ABC中，若235CACBABAB，所以235CAABCBABAB，所以23coscos5bcAacBc，因为0c，所以3coscos5aBbAc，所以由余弦定理得2222223225acbbcaabcacbc，化简得22235abc，所以tansincostansincosAABBBA22222222acbaacbcabbc222222acbbca222235435cccc，故选：B3．在等腰梯形ABCD中，2ABDC，,EF分别为,ADBC的中点，G为EF的中点，则AG等于（）A．3384ABADB．3182ABADC．1324ABADD．1348ABAD【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.【详解】因为在等腰梯形ABCD中，2ABDC，,EF分别为,ADBC的中点，G为EF的中点，所以可得：111113222428AGAEEGADEFADABDCADAB．故选：B.4．在ABC中，已知0ABACBCABAC，且12ABACABAC，则ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形【答案】A【分析】由0ABACBCABAC推出ABAC，由12||||ABACABAC求得角A，则答案可求．【详解】解：||ABAB，||ACAC分别表示AB，AC方向上的单位向量，||||ABACABAC在A的角平分线上，0ABACBCABAC，ABAC，又12||||ABACABAC，1cos,2||||ABACABACABAC，则AB与AC的夹角为60，即60BAC，可得ABC是等边三角形．故选：A.5．已知向量(1,2),(,1)abx，且ab，则()(32)abab的值为（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【分析】根据ab，利用坐标运算求得x，进而得到,32abab的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：因为(1,2),(,1),abxab，所以20abx，解得2x，所以(2,1)b，则(1,3),32(7,4)abab，所以()(32)17345abab，故选：A6．设A，B，C为平面内任意三点，则“AB与AC的夹角为钝角”是“ABACBC”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设AB与AC的夹角为，,,ABcACbBCa，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设AB与AC的夹角为（0,），,,ABcACbBCa，当AB与AC的夹角为钝角时，cos0因为222()2ABACABACABACABAC222cosABACABAC222coscbbc，222cosBCabcbc，所以ABACBC，当ABACBC时，22ABACBC所以2222ABACABACBC，所以22222cos2coscbbcbcbc，所以cos0，所以为钝角或，所以“AB与AC的夹角为钝角”是“ABACBC”的充分不必要条件，故选：B7．已知任意平面向量,ABxy，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosxyxyAP，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点1,1A，点13,0B，把点B绕点A沿逆时针方向旋转53π得到点P，则向量AB在向量AP上的投影向量为___________.（用坐标作答）【答案】(0,1)【分析】设点,Pmn，求出0,2AP，再利用投影向量的公式求解.【详解】解：设点,Pmn，则1,1mnAP，根据题意若将AP逆时针旋转3，即可得AB，故1cos1sin,1sin1cos3333ABmnmn，整理得3131+11,2222nmmnAB，而由A、B两点坐标可知3,1AB，故：13(1)32231(1)122mnnm，解得11mn，则点P的坐标为1,1，所以0,2AP.所以向量AB在向量AP上的投影向量为22(0,2)(0,1)4||ABAPAPAP故答案为：(0,1)8．已知1,2,3,,2023iPi是抛物线2:2Cyx上的点，F是抛物线C的焦点，若1220230PFPFPF，则122023PFPFPF______．【答案】2023【分析】设,1,2,3,,2023iiiPxyi，由1220230PFPFPF求出12202320232xxx