第01讲 极坐标与参数方程（练）（解析版）

第01讲极坐标与参数方程一、解答题1．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为22124cos，直线l的参数方程为2525535xtyt（t为参数）(1)求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；(2)设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且5MN,求PMN面积的取值范围【答案】(1)答案见解析；(2)[25,65]PMNS.【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可求得曲线C的直角坐标方程，进而可得椭圆的参数方程，直线参数方程消参即得普通方程；（2）由点到直线距离公式的范围即可求得三角形面积的取值范围.【详解】（1）由22124cos得：2224cos12，又因为222cossinxyxy，即得2224()12xyx，化简得：22143xy，故曲线C的参数方程为：2cos3sinxy（为参数），由2525535xtyt，消参可得：280xy，直线l的普通方程为：280xy.（2）设(2cos,3sin)P，则点P到直线280xy的距离4sin()82cos23sin8655d，当sin()16时，d有最小值455，当sin()16时，d有最大值1255，而5MN，所以1[25,65]2PMNSMNd.故[25,65]PMNS2．已知圆22:1Exay与直线1yx交于,AB两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为13．(1)求a的值及AOB的面积；(2)若圆E与x轴交于,CD两点，点Q是圆E上异于,CD的任意一点，直线,QCQD，分别交:4lx于,MN两点．当点Q变化时，以MN为直径的圆是否过圆E内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)2a，AOB面积为12(2)以MN为直径的圆过圆E内的一定点43,0【分析】（1）先通过直线OP，直线AB联立解出P的坐标，利用垂径定理得到垂直关系EPAB，通过EP的斜率求出a，再次利用垂径定理算出AB线段长，点到直线的距离求高，得到AOB的面积；（2）利用Q在E上可设圆(2cos,sin)Q，表示出直线,QCQD后，求出,MN的坐标，表示出以MN为直径的圆的方程，最后求该圆经过的定点.【详解】（1）直线OP的斜率为13，于是直线OP的方程为13yx，和1yx联立，解得交点31,22P，由垂径定理可得EPAB，故1ABk，故1021132EPEPkka，解得2a，又222221ABrEPEP，由点到直线的距离公式21122EP，故2AB，O到AB距离为12，故AOB面积为：1112222（2）设(2cos,sin)Q，0,ππ,2π，不妨设(1,0),(3,0)CD，故sincos1QCk，故QC的方程为：sin(1)cos1yx；sincos1QDk，故QD的方程为：sin(3)cos1yx，令4x分别带入QC，QD直线方程可得，3sin4,cos1M，sin4,cos1N，设,()Hxy为以MN为直径的圆上的任意点，则0MHNH，即23sinsin(4)0cos1cos1xyy，部分展开得，22223sin3sinsin(4)0cos1cos1cos1xyy，即224cos2(4)30sinxyy，令0y，则2(4)3x，解得43x或43，变动时，即该圆经过定点43,0,43,0，又2224320231，2224320231，故以MN为直径的圆过圆E内的一定点43,03．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为222212xtyt，（其中t为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2213sin，设点2,1M，曲线12,CC交于,AB，求MAMB的值.【答案】85【分析】解法1：曲线12,CC均化为普通方程，联立求交点,AB坐标，再代入距离公式计算；解法2：曲线12,CC均化为普通方程，联立用韦达定理表示,AB，再整体代入距离公式计算；解法3：曲线2C化为普通方程，,AB坐标以及MAMB可用曲线1C的参数表示，代入2C的普通方程整体求解.【详解】解法1：12222:111212xtxCyxyyt222222222:13sin213sin43sin413sinC2244xy2222444141xyxxyx2580xx设1122,,,AxyBxy1101xy，228535xy830,1,,55AB222,25AMBM85AMBM解法2：（前面转化方程，联立方程同思路一）设1122,,,AxyBxy，2,1M11222,1,2,1MAxyMBxy12122211MAMBMAMBxxyy121212221111222xxxxxx1212224xxxx由2580xx-=得12128,05xxxx88202455MAMB解法3：设11,Axy，则有1111222212xtyt，22,Bxy，则有2222222212xtyt代入到222:44Cxy中可得：22112222222+41422222+41422tttt所以12,tt是方程22222+41422tt的两根，整理可得：2562402tt1285MAMBtt4．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为21222xtyt（t为参数），曲线C的参数方程为3sin3cos3sin3cosxy（为参数）．(1)求直线l与曲线C的普通方程，并说明C是什么曲线？(2)设M，N是直线l与曲线C的公共点，点P的坐标为1,0，求PMPN的值．【答案】(1)见解析(2)=2PMPN【分析】（1）消去参数即可得到直线l与曲线C的普通方程即可说明曲线C.（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到1t与2t，根据参数的几何意义讨论求得PMPN的值.【详解】（1）由题意可得：直线l的参数方程为21222xtyt消去参数t得：1yx.曲线C的参数方程为3sin3cos3sin3cosxy.消去参数得：226xy曲线C表示以原点为圆心，以6为半径的圆.（2）由（1）知：将直线的参数方程21222xtyt代入226xy得：2250tt可知122tt，125tt，故1t与2t异号.不妨设1=0PMt,20PNt易知12tt，故PMPN=120ttPMPN=1212==2tttt同理1=0PNt，20PMt易知12tt，故PMPN=210ttPMPN=21=tt21=2tt综上：=2PMPN5．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线2222:0Exyaxyya的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当2a时，(1)求E的极坐标方程；(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且0OPOQ，求OPQ△的面积的最大值．【答案】(1)21sin；(2)322．【分析】（1）将cosx，siny代入曲线E，化简可得答案；（2）不妨设1,P，2π,2Q，121sin，221cos，则OPQ△的面积12121cos1sin2S，令sincost，可得2221Stt，再利用配方计算可得答案.【详解】（1）将cosx，siny代入曲线E，得22sin，即21sin，所以，E的极坐标方程为21sin；（2）不妨设1,P，2π,2Q，即121sin，2π21sin21cos2，则OPQ△的面积12121cos1sin2S22sincos2sincos，由于2sincos12sincos，令sincost，则2,2t，22sincos1t，则222221211Sttttt，故当2t时，2max21322S，即OPQ△的面积的最大值为322．6．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为=2cos2sin=cos+sinxy（为参数）．以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数为=+2=xtyt（t为参数）．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)过原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A、B两点，求2211OAOB的最大值．【答案】(1)22:182xyC，:20lxy(2)78【分析】（1）在曲线C和直线l的参数方程中，消去参数，可得出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）设点1,A、2,B，求出直线l与曲线C的极坐标方程，可得出1、2的表达式，再利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得2211OAOB的最大值.（1）解：在曲线C的参数中，2222cossincossin22xy，所以，曲线C的直角坐标方程为22+=182xy，在直线l的参数方程中，消去参数t可得2xy，即20xy.（2）解：曲线C的极坐标方程为2222cossin182，即22813sin，直线l的极坐标方程为cossin20，设点1,A、2,B，则122213sin，22sincos，由πsincos2sin04可得π2π2ππZ4kkk，所以，π3π2π2πZ44kkk，不妨取π3π44，所以，222221231cos232sin2111113sin24sincos288OAOB5sin294sin23cos291616，为锐角，且3tan4，因为π3π44，则π3π222，故当π22时，2211OAOB取最大值78.一、解答题1．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为24,4xtyt（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为π2sin104，且两曲线1C与2C交于M