第7章 不等式、推理与证明 第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.(2)若B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)不等式x－y＋10表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是zb.2.不等式组x－3y＋6≥0，x－y＋20表示的平面区域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.3.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)答案C解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.4.已知x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是()A.3，－3B.2，－4C.4，－2D.4，－4答案C解析不等式组所表示的平面区域如图所示.其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C12，12，画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2.5.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案2x＋3y≤14，2x＋y≤9，x≥0，y≥0解析用表格列出各数据.AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900.即x≥0，y≥0，2x＋3y≤14，2x＋y≤9，6.(易错题)已知x，y满足x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________.答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A.(－24，7)B.(－7，24)C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案B解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)0，即(a＋7)(a－24)0，解得－7a24.2.若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()A.43，＋∞B.(0，1]C.1，43D.(0，1]∪43，＋∞答案D解析作出不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域(如图中阴影部分表示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故0a≤1或a≥43.3.不等式组x＋y－2≤0，x－y－1≥0，y≥0所表示的平面区域的面积为________.答案14解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A32，12，B(1，0)和C(2，0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S△ABC＝12×(2－1)×12＝14.感悟提升平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.考点二求目标函数的最值角度1求线性目标函数的最值例1(2021·浙江卷)若实数x，y满足约束条件x＋1≥0，x－y≤0，2x＋3y－1≤0，则z＝x－12y的最小值是()A.－2B.－32C.－12D.110答案B解析作出可行域如图中阴影部分所示.由z＝x－12y，得y＝2x－2z.作出直线y＝2x并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时z取得最小值.由2x＋3y－1＝0，x＋1＝0，得x＝－1，y＝1，所以A(－1，1)，zmin＝－1－12＝－32.角度2求非线性目标函数的最值例2(1)已知实数x，y满足x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1，则z＝yx＋2的取值范围是________.(2)(2022·绵阳诊断)已知实数x，y满足x－y≤0，x＋y＋2≥0，x－2y＋2≥0，则z＝x2＋y2－2x＋2y＋3的最小值为________.答案(1)23，76(2)3解析(1)作出不等式组x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1，2)，C1，72，D(2，3)，yx＋2的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点P(－2，0)连线的斜率，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为23，直线PC的斜率为76，由图可知z＝yx＋2的取值范围是23，76.(2)不等式组对应的平面区域为图中阴影部分.由z＝x2＋y2－2x＋2y＋3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1，知z表示可行域内的点到定点(1，－1)的距离的平方加1，结合图形得到zmin＝|1＋1|12＋（－1）22＋1＝3.角度3求参数值或取值范围例3已知x，y满足x≥2，x＋y≤4，2x－y－m≤0.若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则实数m的值为________.答案5解析作出可行域，如图中阴影部分所示.作出直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时，z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最小值.由x＋y＝4，2x－y－m＝0，得x＝4＋m3，y＝8－m3，即A4＋m3，8－m3，所以3×4＋m3＋8－m3＝10，解得m＝5.感悟提升线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：例如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2；③斜率型：形如z＝y－bx－a.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.训练1(1)(2022·成都调研)已知x，y满足约束条件2x＋y≤4，2x－3y≤0，x≥1，且不等式x＋y－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(－∞，3)B.－∞，53C.(－∞，3]D.(－∞，1](2)(2022·南昌模拟)已知变量x，y满足x－2y＋4≤0，x≥2，x＋y－6≥0，则k＝y＋1x－3的取值范围是________.答案(1)B(2)(－∞，－5]∪12，＋∞解析(1)作出约束条件2x＋y≤4，2x－3y≤0，x≥1所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，设目标函数z＝x＋y，化为直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点A时，此时在y轴上的截距最小，此时目标函数z取得最小值，又由2x－3y＝0，x＝1，解得A1，23，可得z＝x＋y的最小值为zmin＝1＋23＝53，又由不等式x＋y－a≥0恒成立，即不等式a≤x＋y恒成立，所以a≤53，即实数a的取值范围是－∞，53.(2)由题意作出可行域如图阴影部分所示，由于k＝y＋1x－3＝y－（－1）x－3表示动点M(x，y)与定点B(3，－1)连线的斜率，由x＝2，x＋y－6＝0可得点A(2，4)，则kAB＝4＋12－3＝－5，且直线x－2y＋4＝0的斜率为12，数形结合可得，k＞12或k≤－5.考点三实际生活中的线性规划问题例4电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：甲乙连续剧播放时长/分钟7060广告播放时长/分钟55收视人次/万6025已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0且x∈N，y≥0且y∈N，即7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0且x∈N，y≥0且y∈N，该不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整点：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125随z变化的一组平行直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大.解方程组7x＋6y＝60，x－2y＝0，得点M的坐标为(6，3).所以电视台每周播出甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.感悟提升1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表