第07讲 比较大小（解析版）

第07讲比较大小【知识点总结】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设0.914y，0.4828y，1.5312y，则（）A．312yyyB．213yyyC．123yyyD．132yyy【答案】D【详解】0.91.8142y，0.481.44282y，1.51.53122y，根据2xy在R上是增函数，所以1.81.51.44222，即132yyy.故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx为R上的偶函数，对任意1x，2(,0)x，均有1212))(((0)xxfxfx成立，若(2)af，213logbf，13()cfe，则a，b，c的大小关系为（）A．cbaB．acbC．abcD．cab【答案】D【详解】∵对任意1x，2(,0)x，均有1212))(((0)xxfxfx成立，∴此时函数为(,0)减函数，∵fx是偶函数，∴当0,x时，fx为增函数，2221loglog3log33bfff，6123ee，6(2)8，∵28e，∴132e，∵222313log31log1log212222，∴13202log3e，∴132(2)log3feff，即cab，故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c【答案】A【详解】解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0，∵20.3＞20＝1，∴b＞1，∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：A．例4．（2022·全国·高三专题练习）若实数,mn满足0mn，则（）A．11mnB．mnmnC．1122mnD．2mmn【答案】B【详解】由0mn，可得11mn，所以11mn，所以A不正确；由2()2mnmnmn，2()mnmn，因为0mn，可得20mn，所以mnmn，所以B正确；由函数1()2xy为R上的递减函数，因为0mn，可得1122mn，所以C错误；例如：当2,1mn时，24,2mmn，此时2mmn，所以D错误.故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若01ab，bxa，ayb，logbza，则x，y，z大小关系正确的是（）A．xyzB．yxzC．zxyD．zyx【答案】A【详解】01ab；01baaaabb，loglog1bbab；xyz．故选：A．例6．（2022·全国·高三专题练习（文））设2log0.3a，0.32b，sin5c，则a，b，c的大小关系是（）A．cbaB．bacC．acbD．abc【答案】C【详解】22log0.3log10a，0.30221b，sin(0,1)5c，所以acb，故选：C.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知4ln4aa，3ln3bb，22lncc，其中4a，3b，2c，则（）A．cbaB．cabC．abcD．acb【答案】C【详解】由4ln4aa，则ln4ln4aa，同理ln3ln3bb，ln2ln2cc，令lnfxxx，则111xfxxx，当0,01fxx；当0,1fxx，∴fx在0,1上单调递减，1,单调递增，所以432fff，即可得fafbfc，又4a，3b，2c由图的对称性可知，abc.故选：C例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知235logloglog1xyz，则2x，3y，5z的大小排序为（）A．235xyzB．325yxzC．523zxyD．532zyx【答案】D【详解】方法一：设235logloglog1xyzk.则122kx，133ky，155kz，又10k，所以111235kkk，可得532zyx.方法二：由235logloglog1xyz.得2351log1log1log0xyz，即235235logloglog0xyz，可得532zyx.故选：D【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知0.5log3a，30.5b，0.53c试比较a，b，c的大小为（）A．abcB．acbC．cbaD．cab【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a､b､c与0､1相比较，即可得到结论.【详解】解：∵0.52log3log30a，3300.5221b，1020.51103133c，∴acb，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知210a，3log6b，2log7c，则a，b，c，则（）A．bacB．acbC．abcD．bca【答案】B【分析】根据指数函数的单调性判断a的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出b、c的大小.【详解】因为0201101a，又因为指数函数的值大于0，所以01a；因为3logx在R上单调递增，333336log6loglog272，所以32b，因为2logx在R上单调递增，2223log4log7log82，所以312c，所以acb.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cabC．bcaD．acb【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,abc的范围即可求解.【详解】22log0.3log10，0a，122225log0.4log0.4loglog212，1b，0.3000.40.41，01c，acb.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知01,1cab，下列不等式成立的是（）A．abccB．ccabC．loglogabccD．ccab【答案】C【分析】根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的运算性质，可判断C的正误，即可得答案.【详解】对于A：构造函数xyc，由于01c，则函数xyc在R上为减函数，又因为1ab，则有abcc，所以A错误；对于B：构造函数cyx，由于01c，则函数cyx在0,上为增函数，又因为1ab，则ccab，所以B错误；对于C：lglglglglogloglglglglglgabccbacccabab，因为01,1cab，所以lg0,lglg0cab，所以loglog0abcc，所以loglogabcc，所以C正确;对于D：cbaccabab，由于01,1cab，所以0ba，所以ccab，所以D错误；故选：C5．（2022·全国·高三专题练习（理））若实数x，y，z互不相等，且满足423logxyz，则（）A．zxyB．zyxC．xy，xzD．zx，zy【答案】D【分析】令423log0xyzk，然后分别求解出,,xyz，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.【详解】解：设423log0xyzk，则2logxk，3logyk，4kz，根据指数、对数函数图象易得：24logkk，34logkk，即zx，zy，故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习（理））若133a，b＝log25，c＝ln3，则（）A．b＞a＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：103331，2223log8log5log42，21lnln3ln2ee所以0,1a，2,3b，1,2c，所以bca故选：B7．（2022·全国·高三专题练习（理））设3log2a，122b，sin1c，则（）A．bacB．abcC．cbaD．cab【答案】B【分析】由对数函数的性可知32log23，再根据三角函数的性质可知23sin122，，由此即可求出结果.【详解】因为89，所以2323，即23332log2log33，又23sin122，，所以31log2sin；又1222=2，所以3121lnog22si，即abc.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ln22a，ln33b，ln55c，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．cab【答案】D【分析】运用比差法分别比较,ab与,ac，进而可得结果.【详解】因为ln2ln33ln22ln3ln8ln902366ab，所以ab；又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010ac，所以ac，所以cab.故选：D.9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数fx，当0x时，fx是增函数，则0.82af，12log4.1bf，21log5cf的大小关系为（）A．abcB．acbC．cbaD．bca【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．【详解】解：122(log4.1)(log4.1)bff，()fx是奇函数，2221(log)(log5)(log5)5cfff，222log5log4.1log42，0.8122，则0.822log5log4.12，当0x…时，()fx是增函数，0.822(log5)(log4.1)(2)fff，即cba，故选：C．10．（2022·全国·高三专题练习）已知4log3a，5log3b，4log5c，则（）A．bacB．abcC．acbD．cab【答案】A【分析】先由对数的性质可得01a，01b，1c，然后利用作差法判断,ab的大小即可【详解】首先01a，01b，因为lg3lg4a，lg3lg5b，所以lg3lg5lg4lg3lg30lg4lg5lg4lg5ab，所以01ba，因为4log51c，所以bac.故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知21log343log2,ln2,8abc，则,,abc的大小关系为（）A．abcB．bcaC．cabD．bac【答案】A【分析】利用对数函数的单调性得到0log2elog23，利用换底公式转化可得到ab1，利用指数对数的运算法则将c化简得到3为底的幂，可以