第08讲 函数的应用（解析版）

第08讲函数的应用【知识点总结】一、函数的零点对于函数yfx，我们把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程0fx有实数根函数yfx的图像与x轴有公共点函数yfx有零点.三、零点存在性定理如果函数yfx在区间,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么函数yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得0,fcc也就是方程0fx的根.四、二分法对于区间,ab上连续不断且0fafb的函数fx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程0fx的近似解就是求函数fx零点的近似值.五、用二分法求函数fx零点近似值的步骤（1）确定区间,ab，验证0fafb，给定精度.（2）求区间,ab的中点1x.（3）计算1fx.若10,fx则1x就是函数fx的零点；若10fafx，则令1bx（此时零点01,xax）.若10fbfx，则令1ax（此时零点01,xxb）（4）判断是否达到精确度，即若ab，则函数零点的近似值为a（或b）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f（2）＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．故选：A.例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）A．0或12B．0C．12D．0或12【答案】A【详解】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－12．故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数221,11log,1xxfxxx„，则函数()fx的零点为（）A．2B．2，0C．12D．0【答案】D【详解】函数221,1()1log,1xxfxxx„当1x„时，令()210xfx，解得0x当1x时，令2()1log0fxx，解得12x（舍去）综上函数的零点为0.故选：D.例4．（2022·全国·高三专题练习）函数22(()log2)fxxx的零点一定位于下列哪个区间内（）A．5,6B．3,4C．1,2D．2,3【答案】C【详解】解：解不等式220xx得1x或2x，所以函数的定义域为21，，，因为22513loglog10416f，220f23log100f，24log180f，25log280f，26log400f，所以5204ff，所以根据零点的存在性定理得在区间5,24上必有零点，所以函数22(()log2)fxxx的零点一定位于1,2区间内.故选：C例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）A．1,5B．11,5C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪1,5【答案】D【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞15.故选：D.例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数3239fxxxxm仅有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．5,B．(,27)(5,)C．(,27)D．(,5)(27,)【答案】D【详解】因为函数3239fxxxxm仅有一个零点，所以3239gxxxx与ym图像只有一个交点.对于3239gxxxx，求导得2369gxxx.令0gx，得1x或3x.所以当1x时gx单调递增；当13x-时gx单调递减；当3x时gx单调递增.所以当1x时函数有极大值11395g，当3x时函数有极小值327272727g.作3239gxxxx与ym的图像如下图所示.由图可知，当3239gxxxx与ym图像只有一个交点时，5m或27m，即5m或27m.故选:D例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()xfxxe的部分函数值如下表所示：x10.50.750.6250.5625()fx0.63210.10650.27760.08970.007那么函数()fx的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89【答案】B【详解】根据给的数据知道方程的根在区间(0.5625,0.625)内，所以近似解为0.57故选：B例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度()Ct（单位：g/ml）与时间t（单位：h）的关系式为0()ektCtC，其中0C为0t时的药物浓度，k为常数.已知给某患者注射某剂量为1050mg的药物后，测得不同时间药物浓度如下：(h)t1.02.0()(g/ml)Ct109.7880.35则该药物的k的值大约为（）(ln1.2580.253,ln1.350.300,ln1.380.322,ln1.390.329)A．0.287B．0.312C．0.323D．0.356【答案】B【详解】由题得0(1)e109.78kCC，20(2)e80.35kCC，两式相除得109.78e1.36680.35k，所以ln1.366(0.300,0.322)k.故选：B.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若函数()=0yaxba+?经过点(2,0)，则函数2ybxax=-的零点是（）A．0，2B．0，12C．0，12D．2，12【答案】C【分析】转化条件为=2ba-，解方程即可得解.【详解】函数=yaxb经过点(2,0)，2+=0ab\，∴=2ba-，∴222ybxaxaxax==---，令22=0axax--，则1210,2xx所以函数2ybxax=-的零点是0和12．故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数11yx的零点是（）A．(-1，0)B．x=0C．-1D．1【答案】C【分析】根据函数零点的定义，令0y，即可求解.【详解】由题意，函数11yx，令0y，即110x，解得1x，即函数的零点为1x.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221,11,1xxfxlogxx„，则函数()fx的零点为（）A．1,02B．2，0C．12D．0【答案】D【分析】函数()fx的零点，即令()0fx分段求解即可.【详解】函数221,1()1,1xxfxlogxx„当1x„时，令()210xfx，解得0x当1x时，令2()1log0fxx，解得12x（舍去）综上函数的零点为0故选：D．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.4．（2022·全国·高三专题练习）函数662,0,log12,0xxfxxx的零点之和为（）A．-1B．1C．-2D．2【答案】A【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.【详解】函数662,0,log12,0xxfxxx当0x时，62xfx，设其零点为1x，则满足1620x，解得16log2x；当0x时，6log12fxx，设其零点为2x，则满足26log120x，解得26log12x；所以零点之和为1266log2log121xx故选:A.【点睛】本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,(),xxafxxxa若函数fx存在零点，则实数a的取值范围是（）A．,0B．0,C．,1D．1,【答案】B【分析】在同一坐标系中，作出指数函数2xy，yx根据函数()fx存在零点，利用数形结合法求解.【详解】如图所示：指数函数20xy，没有零点，yx有唯一的零点0x＝，所以若函数()fx存在零点，须()()fxxxa有零点，即0,a，所以0a，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0(),0xlnxxfxex„，则2()()2fxfx实数根的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】由2()()2fxfx解出()1fx或()2fx，根据()fx解析式分别求出当()1fx和()2fx时x的值，即可判断实数根的个数.【详解】做出()fx图像如下：2()()2fxfx2()()2=0fxfx()1()2=0fxfx()1fx或()2fx，①若()1fx时，⑴当0()==1xfxlnx，，xe或1xe，符合题意；⑵当0()==1xxfxe，，0x，符合题意；②若()2fx,()0fx()2fx综上：2()()2fxfx共有3个实数根．故选：B．7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知0x是函数1()21xfxx的一个零点，若10201,,xxxx，则（）A．1()0fx，20fxB．1()0fx，20fxC．10fx，20fxD．10fx，20fx【答案】B【分析】转化0x是函数1()21xfxx的一个零点为0x是函数2xy与11yx的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为0x是函数1()21xfxx的一个零点，则0x是函数2xy与11yx的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当101,xx时，2xy在11yx下方，即10fx；当20,xx时，2xy在11yx上方，即20fx，故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()yfx的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：x12345y1.43.55.4－5.5－6.7则方程()0fx必存在有根的一个区间是（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)【答案】C【分析】根据函数的零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数()yfx