第10讲 导数之单调性、最值、极值（原卷版）

第10讲导数之单调性、最值、极值【知识点总结】一．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在该区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在该区间内单调递减.二．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()fx的定义域；（2）求()fx，令()0fx，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()fx的间断点（即()fx的无定义点）的横坐标和()0fx的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义域分成若干个小区间；（4）确定()fx在各小区间内的符号，根据()fx的符号判断函数()fx在每个相应小区间内的增减性.注①使()0fx的离散点不影响函数的单调性，即当()fx在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()fx在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)上，3()fxx，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，而显然3()fxx在(,)上是单调递增函数.②若函数()yfx在区间(,)ab上单调递增，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立.因为()0fx，即()0fx或()0fx，当()0fx时，函数()yfx在区间(,)ab上单调递增.当()0fx时，()fx在这个区间为常值函数；同理，若函数()yfx在区间(,)ab上单调递减，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0fx()fx单调递增；()fx单调递增()0fx；()0fx()fx单调递减；()fx单调递减()0fx.三．函数极值的概念设函数()yfx在点0x处连续且0()0yfx，若在点0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，则0x为函数的极大值点；若在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，则0x为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.四．求可导函数()fx极值的一般步骤（1）先确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的根；（4）检验()fx在方程()0fx的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()yfx在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()yfx在这个根处取得极小值.注①可导函数()fx在点0x处取得极值的充要条件是：0x是导函数的变号零点，即0()0fx，且在0x左侧与右侧，()fx的符号导号.②0()0fx是0x为极值点的既不充分也不必要条件，如3()fxx，(0)0f，但00x不是极值点.0x为可导函数()fx的极值点0()0fx；但0()0fx0x为()fx的极值点.五．函数的最大值、最小值若函数()yfx在闭区间,ab上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在,ab上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.六．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()yfx是定义在区间,ab上的函数，()yfx在(,)ab可导，求函数()yfx在,ab上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值(),()fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【典型例题】例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数321()(,)3fxxaxbxabR．若()yfx图象上的点111,3处的切线斜率为4．（1）求a，b的值；（2）()yfx的极值．例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设aR，函数()lnfxxax.（1）若3a，求曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线方程；（2）讨论函数()fx的单调性.例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数()fx的图象过点 (0,1)，且1a；②()fx在1x时取得极大值116；③函数()fx在3x处的切线方程为4270xy，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．题目：已知函数321()232afxxxxb存在极值，并且______．（1）求()fx的解析式；（2）当[1,3]x时，求函数()fx的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln()mfxxmRx.（1）当2m时，求函数()fx的单调区间和极值；（2）若函数()fx在区间[1,]e上取得最小值4，求m的值.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()xfxeaxaaR．讨论fx的单调性.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21()ln(0)2fxxxaxa，讨论()fx的单调性；【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且10f，fx为fx的导函数，且当0,x时0fx，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4282021fxxx，则fx在下列区间上为增函数的是（）A．3,0B．0,1C．1,3D．2,43．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数fx的导函数fx的图象如图所示，则关于fx的结论正确的是（）A．在区间2,2上为减函数B．在2x处取得极小值C．在区间(,2)2,，上为增函数D．在2x处取得极大值4．（2022·全国·高三专题练习）已知fx在R上是可导函数，fx的图象如图所示，则不等式2230xxfx解集为（）A．,21,B．,21,2C．,11,02,D．,11,13,5．（2022·全国·高三专题练习）函数2()ln2fxxx的单调递增区间是（）A．1,02和1,2B．1,2和1,2C．10,2D．1,26．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()lnfxaxbx在点1,1f处的切线方程为yx，则函数yfx的增区间为（）A．(0,1)B．20,2C．2,2D．2,127．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx的导函数()fx¢的图像如图所示，那么函数fx的图像最有可能的是（）A．B．C．D．8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数2()(3)xfxxe的结论中，正确结论是（）A．(3)f是极大值，(1)f是极小值；B．()fx没有最大值，也没有最小值；C．()fx有最大值，没有最小值；D．()fx有最小值，没有最大值.9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数321132fxxxcxd有极值，则c的取值范围为（）A．14cB．14cC．14cD．14c10．（2022·全国·高三专题练习）若函数3()lnfxxx，则（）A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值11．（2022·全国·高三专题练习）若函数()yfx可导，则“()0fx有实根”是“()fx有极值”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（2022·全国·高三专题练习）如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）A．1B．2C．3D．413．（2022·全国·高三专题练习）函数322()fxxaxbxa在1x处有极值10，则a，b的值为（）A．3a，3b，或4a，11bB．4a，1b，或4a，11bC．4a，11bD．3a，3b14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数ln12afxxaxx有两个不同的极值点12,xx，则满足条件的a取值范围为（）A．10,2B．0,C．11,42D．10,415．（2022·全国·高三专题练习）设函数2234xfxxxe，则 fx的（）A．极小值点为1，极大值点为32B．极小值点为1，极大值点为32C．极小值点为32，极大值点为1D．极小值点为32，极大值点为116．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数33fxxx在区间22,3aa上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．3,1B．2,1C．13,2D．2,117．（2022·全国·高三专题练习）若函数21ln2fxxaxx在区间1,2内有最小值，则实数a的取值范围为（）A．0,1B．12,23C．30,2D．31,218．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数321()13fxxx在区间(,3)mm上存在最小值，则实数m的取值范围是（）A．[5,0)B．(5,0)C．[3,0)D．(3,0)二、多选题19．（2022·全国·高三专题练习）若函数21()9ln2fxxx，在区间1,1mm上单调，则实数m的取值范围可以是（）A．4mB．2mC．12mD．03m20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数fx的导函数fx的图象，则下列结论正确的是（）A．01ffB．1x是fx的极小值点C．1x是fx的极小值点D．3x是fx的极大值点21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx，其导函数fx的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．fafefdB．函数fx在,ab上递增，在,bd上递减C．函数fx的极值点为c，eD．函数fx的极大值为()fb22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数yfx的导函数fx的图象如图所示，则下列判断正确的（）A．fx在4x时取极小值B．fx在2x时取极大值C．1.5x是fx极小值点D．3x是fx极小值点23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数yfx的导函数yfx的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．fafbfcB．fefdfcC．xc时，fx取得最大值D．xd时，fx取得最小值三、填空题24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数322()3(1)1(0)fxkxkxkk，若()fx的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为_